2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第07節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第07節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 雙曲線 的方程 xx·全國卷Ⅰ·T5·5分 由雙曲線方程求三角形面積 數(shù)形結(jié)合 xx·全國卷Ⅰ·T16·5分 由雙曲線方程求三角形面積 數(shù)形結(jié)合 xx·全國卷Ⅱ·T15·5分 求雙曲線方程 數(shù)學(xué)運(yùn)算 雙曲線 的性質(zhì) xx·全國卷Ⅱ·T5·5分 求雙曲線的離心率 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國卷Ⅲ·T14·5分 由雙曲線的漸近線求參數(shù)值 數(shù)學(xué)運(yùn)算 命題分析 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考命題熱點(diǎn)，其中離心率漸近線是高

2、考考查重點(diǎn)，多以選擇題填空題形式出現(xiàn)，一般不會(huì)出現(xiàn)在解答題中，在解題時(shí)要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，以及雙曲線方程的求法，靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)，2019年高考仍然會(huì)考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，題型為選擇題填空題，分值5分. 標(biāo)準(zhǔn) 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：__坐標(biāo)軸__，對(duì)稱中心：__原點(diǎn)__ 頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__ 頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__ 漸近線

3、 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c 的關(guān)系 c2＝__a2＋b2__ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝__2a__； 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝__2b__； a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng) 2．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法 (1)定義法 根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a，b，c，即可求得方程． (2)待定系數(shù)法 ①與雙曲線－＝1共漸近線的可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ②若漸近線方程為y＝±x，則可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ③若過兩個(gè)已知點(diǎn)，

4、則可設(shè)為＋＝1(mn＜0)． 3．雙曲線幾何性質(zhì)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)“六點(diǎn)”：兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)； (2)“四線”：兩對(duì)稱軸(實(shí)、虛軸)、兩漸近線； (3)“兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形；雙曲線上的一點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (3)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (4

5、)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是 －＝0，即±＝0.(　　) (5)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) (6)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ 2．(教材習(xí)題改編)雙曲線y2－x2＝4的漸近線方程是(　　) A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：選A　由題意知－＝1，y＝±x． 3．已知雙曲線－＝1的離心率e∈(1,2)，則m的取值

6、范圍為(　　) A． B．(0,15) C． D．(15，＋∞) 解析：選B　由雙曲線方程－＝1，知e＝＝，所以1＜ ＜2，解得：0＜m＜15． 4．(xx·北京卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝__________；b＝__________． 解析：由2x＋y＝0得y＝－2x，所以＝2. 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2． 答案：1　2 雙曲線的定義及應(yīng)用 [明技法] 雙曲線定義的應(yīng)用規(guī)律 類型 解讀 求方程 由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c的值，從

7、而求出a2，b2的值，寫出雙曲線方程 解焦點(diǎn) 三角形 利用雙曲線上點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)的距離的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a＜|F1F2|)與正弦定理、余弦定理，解決焦點(diǎn)三角形問題 注意：在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支． [提能力] 【典例1】 (xx·全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3)　　　　　　　 B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 解析：選A　∵方程－＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－

8、n)>0，解得－m2

9、1的直線方程為＋＝1.與x2－＝1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，此時(shí)S＝S△AF1F－S△F1PF＝12． 答案：12 [刷好題] 1．設(shè)雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，則△PF1F2的面積等于(　　) A．10 B．8 C．8 D．16 解析：選C　依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2， 因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8， 所以等腰三角形PF1F2的面積S＝×8× ＝8． 2．(xx·孝感質(zhì)檢)△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓

10、圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是__________． 解析：如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G，E，F(xiàn)． |AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6． 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x＞3)． 答案：－＝1(x＞3) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 [明技法] 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法 → → [提能力] 【典例】 (1)(xx·東北三校聯(lián)合模擬)與橢圓C：＋＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(1，)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1

11、C．－＝1 D．－x2＝1 (2)(xx·天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：(1)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(m＞0，n＞0)， 則解得m＝n＝2． 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1． (2)由題意得c＝，＝，則a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1． 答案：(1)C　(2)A [刷好題] 1．(xx·安徽卷)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是(

12、　　) A．x2－＝1　　　　　　 B．－y2＝1 C．－x2＝1 D．y2－＝1 解析：選C　由雙曲線性質(zhì)知A、B項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意；C、D項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但D項(xiàng)漸近線為y＝±x，只有C符合，故選C． 2．(xx·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 解析：方法一　∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(diǎn)(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1． 方法二　∵漸近線y＝x過點(diǎn)(4,2)，而<2， ∴點(diǎn)(

13、4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． ∴雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上， 故可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1． 答案：－y2＝1 雙曲線的幾何性質(zhì) [析考情] 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題． 高考對(duì)雙曲線的幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題點(diǎn)： (1)求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng)； (2)求雙曲線的漸近線方程； (3)求雙曲線的離心率(或范圍)． [提能力] 命題點(diǎn)1：求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng) 【典例1】 若實(shí)數(shù)

14、k滿足0＜k＜5，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　) A．實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B．虛半軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析：選D　由0＜k＜5，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由＝，得兩雙曲線的焦距相等． 命題點(diǎn)2：求雙曲線的漸近線方程 【典例2】 已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：選A　橢圓C1的離心率為， 雙曲線C2的離心率為， 所以·＝， 所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，

15、 所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝± x， 即x±y＝0． 命題點(diǎn)3：求雙曲線的離心率(或范圍) 【典例3】 (xx·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(　　) A．　　　 B．2　　　 C．　　　 D． 解析：選D　不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為． ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴－＝1，a＝b， ∴c＝a，e＝＝.故選D． [悟技法] 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (

16、1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解． [刷好題] 1．(xx·麻城一模)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的離心率為(　　) A．　　　　　　　　 B． C．或 D． 解析：選C　由雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 得＝或＝， 又離心率e＝，所以e＝或e＝． 2．(xx·西安模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且F2為拋物線y2＝24x的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若△PF1F2的面積為36，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：選A　由題意，F(xiàn)2(6,0)，設(shè)P(m，n)，則 ∵△PF1F2的面積為36， ∴×12×|n|＝36，∴|n|＝6，∴m＝9， 取P(9,6)， 則2a＝－＝6， ∴a＝3，b＝3， ∴雙曲線的方程為－＝1，故選A．