《(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)
A組
1.若2sin(θ+)=3sin(π-θ),則tanθ等于( B )
A.- B.
C. D.2
[解析] 由已知得sinθ+cosθ=3sinθ,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=,故選B.
2.(文)如果sinα=,那么sin(α+)-cosα等于( A )
A. B.-
C. D.-
[解析] sin(α+)-cosα
=sinαcos+cosαsin-cosα=×=.
(理)已知α∈R,sinα+2cos
2、α=,則tan2α=( C )
A. B.
C.- D.-
[解析] 本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系.
將sinα+2cosα=兩邊平方可得,
sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,
∴4sinαcosα+3cos2α=,∴=.
將左邊分子分母同除以cos2α得,
=,解得tanα=3或tanα=-,
∴tan2α==-.
3.若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,則此三角形的形狀是( B )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
[解析] ∵sin(A+B)sin(A-B)=si
3、n2C,sin(A+B)=sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),∴cosAsinB=0,
∵sinB≠0,∴cosA=0,∴A為直角.
4.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=( B )
A.5 B.
C.2 D.1
[解析] 本題考查余弦定理及三角形的面積公式.
∵S△ABC=acsinB=··1·sinB=,
∴sinB=,∴B=或.
當(dāng)B=時,
經(jīng)計算△ABC為等腰直角三角形,不符合題意,舍去.
∴B=,根據(jù)余弦定理,
b2=a2+c2-2accosB,解得b=,故選B.
5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,
4、c.若a=2,c=2,cosA=,且b(否則,若α+β≤,則有0<β<α+β≤,0
5、sin(α+β)
6、小關(guān)系為B=C.(填“BC”)
[解析] 設(shè)∠BAD=α,∠CAD=β,
因為∠BAD+∠C=90°,所以α=90°-C,β=90°-B,
因為D為BC的中點,
所以S△ABD=S△ACD,
所以c·ADsinα=b·ADsinβ,
所以csinα=bsinβ,所以ccosC=bcosB,
由正弦定理得,sinCcosC=sinBcosB,
即sin2C=sin2B,所以2B=2C或2B+2C=π,
因為△ABC為銳角三角形,所以B=C.
9.為了豎起一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖,要求∠ACB=60°, BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5
7、米,為了穩(wěn)定廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為2+.
[解析] 由題意設(shè)BC=x(x>1)米,
AC=t(t>0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5
=(t-0.5)米,
在△ABC中,由余弦定理得:
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°,
即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡并整理得:
t=(x>1),
即t=x-1++2,
因為x>1,故t=x-1++2≥2+,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時取等號,此時取最小值2+.
10.(2018·全國卷Ⅰ,17)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2
8、)若DC=2,求BC.
[解析] (1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由題設(shè)知,=,
所以sin∠ADB=.
由題意知,∠ADB<90°,
所以cos∠ADB==.
(2)由題意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
11.(文)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).
(1)求cosA的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
[解析] (1)由asinA=4b
9、sinB及=,
得a=2b.
由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,
得cosA===-.
(2)由(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB中,
得sinB==.
由(1)知,A為鈍角,所以cosB==.
于是sin2B=2sinBcosB=,
cos2B=1-2sin2B=,
故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA
=×(-)-×=-.
(理)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(1)求b和sinA的值;
(2)求sin(2A+)的值.
[解析] (1)在△ABC中,因
10、為a>b,
所以由sinB=,得cosB=.
由已知及余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=13,
所以b=.
由正弦定理=,
得sinA=a=.
所以b的值為,sinA的值為.
(2)由(1)及a
11、的重心,則++=0,
∴=--,
∵a+b+c·=0,
∴a·(--)+b+c·=0.
即(b-a)·+(c-a)·=0,
∵與不共線,
∴b-a=0,c-a=0.
得abc=111,
令a=1,b=1,c=,
則cosC===-,
∴C=,故選D.
2.(2018·唐山市一模)若sin(-α)=,則cos(+2α)=( A )
A.- B.
C.- D.
[解析] ∵cos(+2α)=-cos(-2α)=-[1-2sin2(-α)]=-(1-)=-.
3.(2018·威海二模)已知等腰△ABC滿足AB=AC,BC=2AB,點D為BC邊上的一點
12、且AD=BD,則sin∠ADB的值為( C )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖,設(shè)AB=AC=a,AD=BD=b,
由BC=2AB,
得BC=a,
在△ABC中,由余弦定理得,
cos∠ABC=
=
=.
∵AB=AC,
∴∠ABC是銳角,
則sin∠ABC==,
在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2·AB·BD·cos∠ABD,
∴b2=a2+b2-2·a·b·,
解得a=b,
由正弦定理得,=,
∴=,
解得sin∠ADB=.
4.鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=(
13、B )
A.5 B.
C.2 D.1
[解析] ∵S=AB·BCsinB=×1×sinB=,
∴sinB=,
∴B=或.
當(dāng)B=時,根據(jù)余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2+2=5,
∴AC=,此時△ABC為鈍角三角形,符合題意;
當(dāng)B=時,根據(jù)余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2=1,
∴AC=1,此時AB2+AC2=BC2,△ABC為直角三角形,不符合題意.故AC=.
5.設(shè)α∈,β∈,且tanα=,則( C )
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
[解析] 因為
14、tanα==,
去分母得sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,
所以sinαcosβ-cosαsinβ=cosα,
即sin(α-β)=cosα=sin.
又因為α∈,β∈,
則-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α
故2α-β=.
6.已知α-β=,tanα-tanβ=3,則cos(α+β)的值為-.
[解析] 因為tanα-tanβ=-==3,且α-β=,所以cosαcosβ=,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,所以sinαsinβ=-,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.
7.已知點O是△ABC的內(nèi)心,∠BAC
15、=30°,BC=1,則△BOC面積的最大值為.
[解析] 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知,∠BOC=105°,
所以在△BOC中,根據(jù)余弦定理有
cos105°==,
等價于·OB·OC=OB2+OC2-1,
即·OB·OC≥2OB·OC-1,
所以O(shè)B·OC≤,而S△BOC=·OB·OC·sin105°≤·sin105°·=.
8.已知向量m=與n=(3,sinA+cosA)共線,其中A是△ABC的內(nèi)角.
(1)求角A的大??;
(2)若BC=2,求△ABC的面積S的最大值,并判斷S取得最大值時△ABC的形狀.
[解析] (1)因為m∥n,
所以sinA·(sinA+cosA)-
16、=0.
所以+sin2A-=0,
即sin2A-cos2A=1,即sin=1.
因為A∈(0,π),所以2A-∈.
故2A-=,A=.
(2)設(shè)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,則由余弦定理,得4=b2+c2-bc.
而b2+c2≥2bc,∴bc+4≥2bc,∴bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立),
所以S△ABC=bcsinA=bc≤×4=,
當(dāng)△ABC的面積取最大值時,b=c.
又A=,故此時△ABC為等邊三角形.
9.(2018·天津卷,15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acos.
(1)求角B的大??;
(2)設(shè)a=2
17、,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
[解析] (1)在△ABC中,由正弦定理=,
可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,
得asinB=acos,即sinB=cos,
所以sinB=cosB+sinB,可得tanB=.
又因為B∈(0,π),可得B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,
有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.
由bsinA=acos,可得sinA=.
因為a