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1、初中數學競賽輔導 第二十六講實數的若干性質和應用教案1 北師大版實數是高等數學特別是微積分的重要基礎在初中代數中沒有系統(tǒng)地介紹實數理論，是因為它涉及到極限的概念這一概念對中學生而言，有一定難度但是，如果中學數學里沒有實數的概念及其簡單的運算知識，中學數學也將無法繼續(xù)學習下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理數的知識也是遠遠不夠用的因此，適當學習一些有關實數的基礎知識，以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數學的學習打基礎，而且也是初等數學學習所不可缺少的本講主要介紹實數的一些基本知識及其應用用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數，或者說，有理
2、數對加、減、乘、除(零不能做除數)是封閉的性質1 任何一個有理數都能寫成有限小數(整數可以看作小數點后面為零的小數)或循環(huán)小數的形式，反之亦然例1分析 要說明一個數是有理數，其關鍵要看它能否寫成兩個整數比的形式證 設兩邊同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，無限不循環(huán)小數稱為無理數有理數對四則運算是封閉的，而無理是說，無理數對四則運算是不封閉的，但它有如下性質 性質2 設a為有理數，b為無理數，則(1)a+b，a-b是無理數；有理數和無理數統(tǒng)稱為實數，即在實數集內，沒有最小的實數，也沒有最大的實數任意兩個實數，可以比較大小全體實數和數軸上的所有點是一一對應的在實數集內
3、進行加、減、乘、除(除數不為零)運算，其結果仍是實數(即實數對四則運算的封閉性)任一實數都可以開奇次方，其結果仍是實數；只有當被開方數為非負數時，才能開偶次方，其結果仍是實數例2分析證所以分析 要證明一個實數為無限不循環(huán)小數是一件極難辦到的事由于有理數與無理數共同組成了實數集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數是無理數時，常常采用反證法證 用反證法所以p一定是偶數設p=2m(m是自然數)，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數，a為無理數)，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 設法將等式變形，利用有理數不能等于無
4、理數來證明證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，則反之，顯然成立說明 本例的結論是一個常用的重要運算性質是無理數，并說明理由整理得由例4知aAb，1=A，說明 本例并未給出確定結論，需要解題者自己發(fā)現正確的結有理數作為立足點，以其作為推理的基礎例6 已知a，b是兩個任意有理數，且ab，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(即有理數集具有稠密性)分析 只要構造出符合條件的有理數，題目即可被證明證 因為ab，所以2aa+b2b，所以說明 構造具有某種性質的一個數，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經常運用的一種數學建模的思想方法例7 已知a，b是兩個任意有理數，且ab，問是否
5、存在無理數，使得ab成立？即由，有存在無理數，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因為無理數是無限不循環(huán)小數，所以不可能把一個無理數的小數部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數小數部分的計算題，往往是先估計它的整數部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求滿足條件的自然數a，x，y解 將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得例10 設an是12+22+32+n2的個位數字
6、，n=1，2，3，求證：0.a1a2a3an是有理數分析 有理數的另一個定義是循環(huán)小數，即凡有理數都是循環(huán)小數，反之循環(huán)小數必為有理數所以，要證0.a1a2a3an是有理數，只要證它為循環(huán)小數因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，發(fā)現：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2an是由20個數字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數，即下面證明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22+202)由前面計算的若干值可知：12+22+202是10的倍數，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2an是一個有理數練習三1下列各數中哪些是有理數，哪些是無理數？為什么？5設，為有理數，為無理數，若+=0，求證：=0
初中數學競賽輔導 第二十六講《實數的若干性質和應用》教案1 北師大版
