（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5節(jié) 第2課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案 理 新人教B版

《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5節(jié) 第2課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案 理 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5節(jié) 第2課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案 理 新人教B版（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時(shí)　橢圓的簡單幾何性質(zhì) 考點(diǎn)一　橢圓的性質(zhì) 【例1】 (1)(2017·全國Ⅲ卷)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (2)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)以線段A1A2為直徑的圓是x2＋y2＝a2，直線bx－a

2、y＋2ab＝0與圓相切， 所以圓心(0，0)到直線的距離d＝＝a，整理為a2＝3b2，即＝. ∴e＝＝＝＝＝. (2)設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形. ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2. 設(shè)M(0，b)，則≥，∴1≤b<2. 離心率e＝＝＝＝∈. 答案　(1)A　(2)A 規(guī)律方法　求橢圓離心率的方法 (1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解. 【訓(xùn)練1】 (1)(2016

3、·全國Ⅲ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (2)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________. 解析　(1)設(shè)M(－c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D， 則D，又B，D，M三點(diǎn)共線， 所以＝， 所以a＝3c，所以e＝. (2)由題意知F

4、1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝，因?yàn)檫^F2且與x軸垂直的直線為x＝c，由橢圓的對稱性可設(shè)它與橢圓的交點(diǎn)為A，B.因?yàn)锳B平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝且0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去). 答案　(1)A　(2) 考點(diǎn)二　橢圓性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】 (1)(2018·湖南東部六校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程

5、為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 (2)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.2 解析　(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1，0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1，故選A. (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，因?yàn)樵c(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn)，所以＋＝2，即|＋|＝|2|＝2|PO|，橢圓上點(diǎn)到中心的最短距離為短半軸長，即|PO|的

6、最小值為b＝1，所以|＋|的最小值為2. 答案　(1)A　(2)C 規(guī)律方法　利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 (1)在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系. (2)求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(　　) A.1 B. C.2 D.2 (2)(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩

7、個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞) 解析　(1)設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距， 依題意知，當(dāng)三角形的高為b時(shí)面積最大， 所以×2cb＝1，bc＝1， 而2a＝2≥2＝2 (當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時(shí)取等號)，故選D. (2)①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，依題意得 03，且≥tan＝，∴m≥9， 綜上，m的取值范圍是(0

8、，1]∪[9，＋∞). 答案　(1)D　(2)A 考點(diǎn)三　直線與橢圓(多維探究) 命題角度1　弦及中點(diǎn)弦問題 【例3－1】 已知橢圓＋y2＝1， (1)過A(2，1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程； (2)求過點(diǎn)P且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程. 解　(1)設(shè)弦的端點(diǎn)為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中點(diǎn)是M(x，y). ①－②得＝－＝－， 所以－＝， 化簡得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在橢圓＋y2＝1內(nèi)部的部分). (2)由(1)可得弦所在直線的斜率為k＝－＝－，因此所求直線方程是y－＝ －，化簡得2x＋4y－3＝0. 規(guī)律方法　弦

9、及弦中點(diǎn)問題的解決方法 (1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率. 命題角度2　直線與橢圓的位置關(guān)系(易錯(cuò)警示) 【例3－2】 (2018·沈陽質(zhì)檢)已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，點(diǎn)A，B分別為橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線BP交E于點(diǎn)Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍. 解　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0). 設(shè)Q(x

10、0，y0)，則由＝，得 代入橢圓方程得b2＝1， 所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)依題意得，直線l的斜率存在，方程設(shè)為y＝kx－2. 聯(lián)立 消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*) 因直線l與E有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程(*)有不等的兩實(shí)根， 故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外， 所以·>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4

11、＝(1＋k2)·－2k·＋4>0， 解得k2<4，綜上可得

12、＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍. 解　(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0. 當(dāng)t＝4時(shí)，E的方程為＋＝1，A(－2，0). 由|AM|＝|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1得7y2－12y＝0， 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 因此△AMN的面積S△AMN＝2×××＝. (2)由題意t>3，k>0，A(－，0)，將直線A

13、M的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1·(－)＝得x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 由題設(shè)，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 當(dāng)k＝時(shí)上式不成立，因此t＝. t>3等價(jià)于＝<0， 即<0. 由此得或解得

14、＋∞) C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞) 解析　由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3. 答案　B 2.設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析　在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故選D. 答案　D 3.(2018·石家莊質(zhì)檢)設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率

15、為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　由拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2，0)，可知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓的半焦距c＝2，可設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，因?yàn)殡x心率e＝＝，所以a＝4，b2＝a2－c2＝12，即橢圓的方程為＋＝1. 答案　B 4.(2018·武漢調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)及點(diǎn)B(0，a)，過點(diǎn)B與橢圓相切的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則∠ABF＝(　　) A.60° B.90° C.120° D.150° 解析　由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程y＝kx＋a(k

16、>0)，與橢圓方程聯(lián)立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0， 由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0， 得k＝，從而y＝x＋a交x軸于點(diǎn)A， 又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°. 答案　B 5.(2018·許昌模擬)設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析　如圖，由題意可知，|PF1|>|PF2|且|PF1|>|F1F2|，所以要使△PF1F2為等

17、腰三角形，則只能是|F1F2|＝|PF2|，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線x＝與x軸的交點(diǎn)為D， 則|PF2|＝|F1F2|＝2c≥－c， 即3c2－a2≥0，即e2≥. 解得≤e<1. 答案　D 二、填空題 6.(選修2－1P49A5(3)改編)焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析　由題意知解得 又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3. 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為＋＝1， 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為＋＝1. 答案　＋＝1或＋＝1 7.已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1，1)為中點(diǎn)的弦所在直線方程是________. 解析　設(shè)

18、過M(1，1)點(diǎn)的方程為y＝kx＋b， 則有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)， 聯(lián)立方程組 則有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0， 所以＝·＝1， 解得k＝－，故b＝， 所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0. 答案　x＋2y－3＝0 8.若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

19、由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3， 故即 代入橢圓方程可得＋b2＝1， 解得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1. 答案　x2＋＝1 三、解答題 9.(2017·北京卷)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. (1)解　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0). 由題意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　設(shè)M(m，n)，則

20、D(m，0)，N(m，－n). 由題設(shè)知m≠±2，且n≠0. 直線AM的斜率kAM＝， 故直線DE的斜率kDE＝－. 所以直線DE的方程為y＝－(x－m). 直線BN的方程為y＝(x－2). 聯(lián)立 解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－. 由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2， 所以yE＝－n. 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|， S△BDN＝|BD|·|n|. 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 10.(2018·山西晉城一中、忻州一中等五校聯(lián)考)已知A，B分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)在x軸正半軸、y軸正半軸上的頂點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，且|

21、AB|＝. (1)求橢圓C的離心率； (2)直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝2相切，并與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝，求k的值. 解　(1)由|AB|＝＝，＝，a>b>0， 計(jì)算得出a＝2，b＝，則橢圓C的離心率為e＝＝. (2)由(1)知橢圓方程為＋＝1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則消去y得，(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，直線l與橢圓相交，則Δ>0，即48(3k2－m2＋4)>0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 又直線l與圓x2＋y2＝2相切， 則＝，即m2＝2(k2＋1). 而|MN|＝· ＝ ＝＝， 又|MN|＝，所以＝，

22、 即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且滿足Δ>0，故k的值為±1. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上點(diǎn)A滿足AF2⊥F1F2.若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析　由橢圓C：＋＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝＝1，可得F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)， 由AF2⊥F1F2，令x＝1，得y＝±·＝±， 不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)P(m，n)，則點(diǎn)P坐標(biāo)滿足＋＝1， 又－≤n≤， 則·＝(m＋1，n)·＝n≤， 可得·的最大值為. 答案　B 12.已

23、知直線l：y＝kx＋2過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是________. 解析　依題意，知b＝2，kc＝2. 設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2≥， 解得d2≤.又因?yàn)閐＝，所以≤， 解得k2≥. 于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤. 答案　 13.(2018·東北三省四校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且＝λ(其中λ>1). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求實(shí)數(shù)λ的值. 解　(

24、1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線， 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2). 若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝1，不符合題意. 當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)， 設(shè)方程為y＝k(x－1). 由消去y得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.① 由①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0. ∵∴x1＋x2＝＝，∴k2＝. 將k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0， 解得x＝. 又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ， λ＝，又λ＞1，∴λ＝. 13