（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 題組層級(jí)快練78 不等式的證明 文（含解析）（選修4-5）

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1、（新課標(biāo)）2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 題組層級(jí)快練78 不等式的證明 文（含解析）（選修4-5） 1．設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是(　　) A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11 B．a(chǎn)2＋≥a＋ C．|a－b|＋≥2 D.－<－ 答案　C 解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0， 故A恒成立； 在B項(xiàng)中不等式的兩側(cè)同時(shí)乘以a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B項(xiàng)中的不等式恒成立； 對(duì)C項(xiàng)中的不等式，當(dāng)a>b時(shí)，恒成立，當(dāng)a

2、時(shí)，不恒成立； 由不等式<恒成立，知D項(xiàng)中的不等式恒成立．故選C. 2．若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　) A．x>y　　　　　　 B．xb>1，∴a－b>0，ab－1>0， ab>0，∴x－y>0即x>y，故選A. 另解：考察f(x)＝x＋(x>1)． ∵f′(x)＝1－＝>0， ∴f(x)為增函數(shù)． 又a>b>1， ∴f(a)>f(b)， 即x>y.故選A. 3．已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)

3、(bm＋an)的最小值為________． 答案　2 解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)等號(hào)成立)． 4．(2019·滄州七校聯(lián)考)若logxy＝－2，則x＋y的最小值為________． 答案　 解析　由logxy＝－2，得y＝. 而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝即x＝時(shí)取等號(hào)．所以x＋y的最小值為. 5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為______

4、__． 答案　 解析　方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)成立． 方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 答案　12 解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，當(dāng)a＝2b＝3c＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值為12. 7．(2019·江蘇南通聯(lián)考)

5、已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求證：()2≤. 答案　略 證明　因?yàn)閤>0，y>0，所以x＋y>0. 所以要證()2≤， 即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)， 即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立．故()2≤. 8．(2019·福建質(zhì)量檢查)若a，b，c∈R＋，且滿足a＋b＋c＝2. (1)求abc的最大值； (2)證明：＋＋≥. 答案　(1)　(2)略 解析　(1)因?yàn)閍，b，c∈R＋， 所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立． 所以abc的最大值為. (2)證明：

6、因?yàn)閍，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根據(jù)柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[( )2＋( )2＋( )2]≥(× ＋× ＋× )2＝. 所以＋＋≥. 9．(2019·武漢調(diào)研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集； (2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝，求證：＋≤1. 答案　(1){x|－7≤x≤}　(2)略 解析　(1)當(dāng)x≤－時(shí)，－x＋5＋2x＋3≥1， 解得x≥－7，∴－7≤x≤－； 當(dāng)－

7、上，－7≤x≤. 故原不等式的解集為{x|－7≤x≤}． (2)要證＋≤1，只需證a＋b＋2≤1， 即證2≤，即證≤. 而a＋b＝≥2，∴≤成立， ∴原不等式成立． 10．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1，1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 答案　(1)1　(2)略 解析　(1)因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1，1]，故m＝1. (2)證明：由(

8、1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋， 由柯西不等式，得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋) ≥(·＋·＋·)2＝9. 11．(2019·廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|. (1)若f(1)<3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若a≥1，x∈R，求證：f(x)≥2. 答案　(1)(－，)　(2)見解析 解析　(1)因?yàn)閒(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3. ①當(dāng)a≤0時(shí)，得－a＋(1－2a)<3，解得a>－，所以－－2，所以0

9、<，所以≤a<. 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－，)． (2)f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|， 因?yàn)閍≥1，所以f(x)≥3a－1≥2. 12．(2019·四川南充檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥5； (2)若|a|>1，且f(ab)>|a|·f()，證明：|b|>2. 答案　(1){x|x≥4或x≤－1}　(2)略 解析　(1)|x－2|＋|x－1|≥5. 當(dāng)x>2時(shí)，(x－2)＋(x－1)≥5，x≥4； 當(dāng)1≤x≤2時(shí)，(2－x)＋(x－1)≥5，1≥5，無解； 當(dāng)x<1時(shí)，(2－x)＋(1－x)≥5，x≤－1. 綜上，不等式的解集為{x|x≥4或x≤－1}． (2)證明：f(ab)>|a|·f()?|ab－2|>|a|·|－2|?|ab－2|>|b－2a|?(ab－2)2>(b－2a)2?a2b2＋4－b2－4a2>0?(a2－1)(b2－4)>0. 因?yàn)閨a|>1，所以a2－1>0，所以b2－4>0，|b|>2.