(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第3講 定點(diǎn)、定值、存在性問題練習(xí)

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1、(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第3講 定點(diǎn)、定值、存在性問題練習(xí) A組 1.平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足=λ1+λ2(O為原點(diǎn)),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點(diǎn)C的軌跡是( A ) A.直線   B.橢圓    C.圓   D.雙曲線 [解析] 設(shè)C(x,y),因?yàn)椋溅?+λ2,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即解得又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以點(diǎn)C的軌跡為直線. 故選A. 2.過雙曲線x2-=1的右支上一點(diǎn)P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=

2、4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點(diǎn)分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為( B ) A.10 B.13 C.16 D.19 [解析] 由題意可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13. 故選B. 3.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),且|F1F2|=2,若P是該雙曲線右支上的一點(diǎn),且滿足|PF1|=2|PF2|,則△

3、PF1F2面積的最大值是( B ) A.1 B. C. D.2 [解析] ∵ ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a, 設(shè)∠F1PF2=θ, ∴cosθ==, ∴S2△PF1F2=(×4a×2a×sinθ)2 =16a4(1-) =-9(a2-)2≤, 當(dāng)且僅當(dāng)a2=時(shí),等號成立,故S△PF1F2的最大值是. 故選B. 4.已知雙曲線M的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,直線x+3y=0是雙曲線M的一條漸近線,點(diǎn)P在雙曲線M上,且·=0,如果拋物線y2=16x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線M的一個(gè)焦點(diǎn),那么||·||=( B ) A.21 B.14 C.7 D.0

4、[解析] 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0), ∵直線x+3y=0是雙曲線M的一條漸近線, ∴=,① 又拋物線的準(zhǔn)線為x=-4,∴c=4② 又a2+b2=c2.③ ∴由①②③得a=3. 設(shè)點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn), ∴由雙曲線定義得=6④ 又·=0, ∴⊥, ∴在Rt△PF1F2中||2+||2=82⑤ 聯(lián)立④⑤,解得||·||=14. 5.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則k的值為( D ) A. B. C. D. [解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1

5、>0,x2>0, ∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4, ∴x1=2x2+2. 由,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, ∴x1x2=4,x1+x2==-4. 由,得x+x2-2=0,∴x2=1,∴x1=4, ∴-4=5,∴k2=,k=. 6.已知斜率為的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于位于x軸上方的不同兩點(diǎn)A,B,記直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,則k1+k2的取值范圍是(2,+∞). [解析] 設(shè)直線l:x=2y+t,聯(lián)立拋物線方程消去x得y2=2p(2y+t)?y2-4py-2pt=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

6、Δ=16p2+8pt>0?t>-2p,y1+y2=4p,y1y2=-2pt>0?t<0,即-2p2,即k1+k2的取值范圍是(2,+∞). 7.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn),P是拋物線y2=8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=12,則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2. [解析] 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得-=1,拋物線的準(zhǔn)線為x=-2a,聯(lián)立?x=3

7、a,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由?|PF2|=6-a,又易知F2為拋物線的焦點(diǎn),∴|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2. 8.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),M為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),若tan∠AMB=2,則|AB|=8. [解析] 依題意作出圖象如圖所示, 設(shè)l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得, y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,x1x2=·=1,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2. ∵tan∠AMB=tan(∠AMF+∠BMF), ∴=2,

8、 =2, y1-y2=4m2, ∴4=4m2,m2=1, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=4m2+4=8. 9.(2018·撫州一模)已知?jiǎng)訄AC與圓x2+y2+2x=0外切,與圓x2+y2-2x-24=0內(nèi)切. (1)試求動圓圓心C的軌跡方程; (2)過定點(diǎn)P(0,2)且斜率為k(k≠0)的直線l與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)M,N,試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出實(shí)數(shù)m的范圍;若不存在,請說明理由. [解析] (1)由x2+y2+2x=0得(x+1)2+y2=1,由x2+y2-2x-24=0得(x-1

9、)2+y2=25,設(shè)動圓C的半徑為R,兩圓的圓心分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),則|CF1|=R+1,|CF2|=5-R, 所以|CF1|+|CF2|=6,根據(jù)橢圓的定義可知,點(diǎn)C的軌跡為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,所以c=1,a=3,所以b2=a2-c2=9-1=8,所以動圓圓心C的軌跡方程為+=1. (2)存在.直線l的方程為y=kx+2,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為E(x0,y0).假設(shè)存在點(diǎn)A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形,則AE⊥MN, 由得(8+9k2)x2+36kx-36=0, x1+x2=-,所以x0=, y0=kx0

10、+2=, 因?yàn)锳E⊥MN,所以kAE=-, 即=-, 所以m==, 當(dāng)k>0時(shí),9k+≥2=12, 所以-≤m<0; 當(dāng)k<0時(shí),9k+≤-12, 所以0b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),且離心率為. (Ⅰ)求橢圓E的方程; (Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2. [解析] (Ⅰ)由題意知=,b=1,結(jié)合a2=b2+c2,解得a=,

11、所以,橢圓的方程為+y2=1. (Ⅱ)證明:由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得 (1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知Δ>0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 則x1+x2=,x1x2=. 從而直線AP與AQ的斜率之和 kAP+kAQ=+ =+ =2k+(2-k) =2k+(2-k)× =2k+(2-k)× =2k-2(k-1) =2. 2.設(shè)點(diǎn)P是曲線C:x2=2py(p>0)上的動點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離和它到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為. (1)求曲線C的方程;

12、(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,過P作斜率為k(k≠0)的直線交C于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點(diǎn)N,問是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線MN與曲線C相切?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. [解析] (1)依題意知1+=,解得p=. 所以曲線C的方程為x2=y(tǒng). (2)由題意直線PQ的方程為:y=k(x-1)+1, 則點(diǎn)M(1-,0). 聯(lián)立方程組, 消去y得x2-kx+k-1=0,得Q(k-1,(k-1)2). 所以得直線QN的方程為y-(k-1)2=-(x-k+1).代入曲線方程y=x2中,得 x2+x-1+-(1-k)2=0. 解得N(1--k,(1-k-)2). 所以直線MN的斜率kMN= =-. 過點(diǎn)N的切線的斜率k′=2(1-k-). 由題意有-=2(1-k-). 解得k=. 故存在實(shí)數(shù)k=使命題成立.

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