（新課標）2022高考數(shù)學大一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 題組層級快練75 坐標系 文（含解析）（選修4-4）

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1、（新課標）2022高考數(shù)學大一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 題組層級快練75 坐標系 文（含解析）（選修4-4） 1．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓　　　　　　　　 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 答案　C 解析　因為(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1?＝1，得x2＋y2＝1，表示圓心在原點的單位圓；θ＝π(ρ≥0)表示x軸的負半軸，是一條射線． 2．在極坐標系中，極坐標為(2，)的點到極點和極軸的距離分別為(　　) A．1，1 B．1，2 C．2，1 D．2

2、，2 答案　C 解析　點(ρ，θ)到極點和極軸的距離分別為ρ，ρ|sinθ|，所以點(2，)到極點和極軸的距離分別為2，2sin＝1. 3．在極坐標系中，點(2，－)到圓ρ＝－2cosθ的圓心的距離為(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　在直角坐標系中，點(2，－)的直角坐標為(1，－)，圓ρ＝－2cosθ的直角坐標方程為x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圓心為(－1，0)，所以所求距離為＝.故選D. 4．(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)在極坐標系中，直線ρ(cosθ－sinθ)＝2與圓ρ＝4sinθ的交點的極坐標為(　　) A．(2，) B

3、．(2，) C．(4，) D．(4，) 答案　A 解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2可化為直角坐標方程x－y＝2，即y＝x－2. ρ＝4sinθ可化為x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點坐標為(，1)，化為極坐標為(2，)，故選A. 5．在極坐標系中，與圓ρ＝4sinθ相切的一條直線的方程是(　　) A．ρsinθ＝2　　　　　　　 B．ρcosθ＝2 C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4 答案　B 解析　方法一：圓的極坐標方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ

4、，所以直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0. 選項A，直線ρsinθ＝2的直角坐標方程為y＝2，代入圓的方程，得x2＝4，∴x＝±2，不符合題意；選項B，直線ρcosθ＝2的直角坐標方程為x＝2，代入圓的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合題意．同理，以后選項都不符合題意． 方法二：如圖，⊙C的極坐標方程為ρ＝4sinθ， CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，直線l和圓相切， l交極軸于點B(2，0)，點P(ρ，θ)為l上任意一點， 則有cosθ＝＝，得ρcosθ＝2. 6．在極坐標系中，曲線ρ2－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0與極軸交于A，B兩點，則A，B兩點間的距離

5、等于(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　B 解析　法一：化極坐標方程為直角坐標方程得x2＋y2－6x－2y＋6＝0，易知此曲線是圓心為(3，1)，半徑為2的圓，如圖所示．可計算|AB|＝2. 法二：令θ＝0代入方程，得ρ2－6ρ＋6＝0， ∴ ∴|AB|＝|ρA－ρB|＝2. 7．在極坐標系中，圓ρ＝2cosθ的圓心的極坐標是________，它與方程θ＝(ρ>0)所表示的圖形的交點的極坐標是________． 答案　(1，0)，(，) 解析　ρ＝2cosθ表示以點(1，0)為圓心，1為半徑的圓，故圓心的極坐標為(1，0)． 當θ＝時，ρ＝，故交點的

6、極坐標為(，)． 8．(2019·天津南開區(qū)模擬)在極坐標系中，直線ρ(sinθ－cosθ)＝a與曲線ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則實數(shù)a的值為________． 答案?。?或－1 解析　將直線ρ(sinθ－cosθ)＝a化為普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，將曲線ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化為普通方程，得x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圓心坐標為(1，－2)，半徑長為r＝.設(shè)圓心到直線AB的距離為d，由勾股定理可得d＝＝＝，而d＝＝＝，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1. 9．(2019·廣東肇慶一模)已

7、知曲線C的極坐標方程為ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲線C在點(2，)處的切線為l，以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則l的直角坐標方程為________． 答案　x＋y－2＝0 解析　根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式可以得到曲線ρ＝2?x2＋y2＝4，點(2，)?(，)．因為點(，)在圓x2＋y2＝4上，故圓在點(，)處的切線方程為x＋y＝4?x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0. 10．在極坐標系中，曲線C1：ρ＝2與曲線C2：ρ＝4sinθ(<θ<π)交點的極坐標是________． 答案　(2，) 解析　由題意分析可得，曲線C1是圓心為(0，0)，半徑為2的

8、圓，曲線C1的方程為x2＋y2＝4.對ρ＝4sinθ變形得ρ2＝4ρsinθ，所以曲線C2的方程為x2＋y2＝4y.聯(lián)立兩個方程，解得或又∵<θ<π，∴交點為(－，1)，轉(zhuǎn)化為極坐標ρ＝2，tanθ＝，由題意θ＝，所以交點的極坐標為(2，)． 11．(2015·安徽)在極坐標系中，圓ρ＝8sinθ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 答案　6 解析　由ρ＝8sinθ?ρ2＝8ρsinθ?x2＋y2－8y＝0，x2＋(y－4)2＝16，圓心坐標為(0，4)，半徑r＝4.由θ＝?y＝x，則圓心到直線的距離d＝2.∴圓上的點到直線距離的最大值為2＋4＝6. 12．在極坐

9、標系中，設(shè)曲線C1：ρ＝2sinθ與C2：ρ＝2cosθ的交點分別為A，B，則線段AB的垂直平分線的極坐標方程為________． 答案　ρsinθ＋ρcosθ＝1(或ρsin(θ＋)＝) 解析　曲線C1：ρ＝2sinθ的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C2：ρ＝2cosθ的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，所以AB的方程為－x＋y＝0.又易知AB的垂直平分線斜率為－1，經(jīng)過圓C1的圓心(0，1)，所以AB的垂直平分線的方程為x＋y－1＝0，化為極坐標方程為ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成ρsin(θ＋)＝. 13．(2017·天津，理)在極坐標系中，直線4ρcos(θ－)＋

10、1＝0與圓ρ＝2sinθ的公共點的個數(shù)為________． 答案　2 解析　依題意，得4ρ(cosθ＋sinθ)＋1＝0，即2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直線的直角坐標方程為2x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圓的直角坐標方程為x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，其圓心(0，1)到直線2x＋2y＋1＝0的距離d＝<1，則直線與圓的公共點的個數(shù)是2. 14．(2019·唐山模擬)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系． (1)將圓C和直線l的方程化為極坐標方程； (2)P是

11、l上的點，射線OP交圓C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q軌跡的極坐標方程． 答案　(1)C：ρ＝2　l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2　(2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0) 解析　(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標方程得其極坐標方程為 C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 則由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝， 所以＝4， 故點Q軌跡的極坐標方程為ρ＝2(cosθ＋sin

12、θ)(ρ≠0)． 15．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心的極坐標為(，)，半徑r＝，點P的極坐標為(2，π)，過P作直線l交圓C于A，B兩點． (1)求圓C的直角坐標方程； (2)求|PA|·|PB|的值． 答案　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2　(2)8 解析　(1)圓C的圓心的極坐標C(，)， ∴x＝cos＝1，y＝sin＝1， ∴圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)點P的極坐標為(2，π)，化為直角坐標為P(－2，0)． 當直線l與圓C相切于點D時，則 |PD|2＝|PC|2－r2＝(－

13、2－1)2＋(0－1)2－()2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8. 16．(2018·江蘇，理)在極坐標系中，直線l的方程為ρsin(－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長． 答案　2 解析　因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ， 所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓． 因為直線l的極坐標方程為ρsin(－θ)＝2， 則直線l過A(4，0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點． 設(shè)另一個交點為B，則∠OAB＝. 如圖，連接OB.因為OA為直徑， 從而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2. 因此，直線l被曲線C截

14、得的弦長為2. 17．(2019·福州質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos(θ－)＝2.已知點Q為曲線C1上的動點，點P在線段OQ上，且滿足|OQ|·|OP|＝4，動點P的軌跡為C2. (1)求C2的直角坐標方程； (2)設(shè)點A的極坐標為(2，)，點B在曲線C2上，求△AOB面積的最大值． 答案　(1)(x－)2＋(y－)2＝1不包含(0，0) (2) 解析　(1)設(shè)點P的極坐標為(ρ，θ )(ρ>0)，Q的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由題設(shè)，知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝， 由|OQ|·|OP|＝4，得C2的極坐標方程為ρ＝2cos(θ－)(ρ>0)， 因此C2的直角坐標方程為(x－)2＋(y－)2＝1，但不包括點(0，0)． (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝2cos(α－)， 于是△AOB面積S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ＝2cos(α－)·|sin(α－)| ＝2|sin2α－|≤， 當α＝0時，S可取得最大值， 所以△AOB面積的最大值為.