2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法． 2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．　 3.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 【重點難點】 1.教學(xué)重點：掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法； 2.教學(xué)難點：學(xué)會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖

2、 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法．2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．　3.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國Ⅱ，10)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)

3、原點，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 解析　易知直線AB的方程為y＝(x－)，與y2＝3x聯(lián)立并消去x得4y2－12y－9＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝3，y1y2＝－.S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故選D. 2.(xx·大綱，8)橢圓C：＋＝1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析　如圖：設(shè)直線A2M的方程為y＝－(x－2)＝2－x，代入橢圓方程＋＝1，并整理得7x2－16x＋4＝0

4、， ∴2＋x＝，∴x＝，∴M點坐標(biāo)為.設(shè)直線A2N的方程為y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得N點坐標(biāo)為，∵kA1M＝＝，kA1N＝＝. ∴直線PA1斜率的取值范圍是.答案　B 知識梳理： 知識點1　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0，由消去y得到關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l與C的交點 a＝0 b＝0 無解(含l是雙曲線的漸近線) 無公共點 b≠0 有一解(含l與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸近線平行) 一個交點 a≠0 Δ>0 兩個不等的解 兩個交點 Δ＝0

5、 兩個相等的解 一個交點 Δ<0 無實數(shù)解 無交點 知識點2　直線與圓錐曲線的相交弦長問題 設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2| ＝·. 1．必會結(jié)論 (1)直線與橢圓位置關(guān)系的有關(guān)結(jié)論：①過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；②過橢圓上一點有且僅有一條直線與橢圓相切；③過橢圓內(nèi)一點的直線均與橢圓相交． (2)直線與拋物線位置關(guān)系的有關(guān)結(jié)論：①過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點，兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；②過拋物線上一點總有兩條直線與拋物

6、線有且只有一個公共點，一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；③過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點，一條與對稱軸平行或重合的直線． (3)直線與雙曲線位置關(guān)系的有關(guān)結(jié)論：①過雙曲線外不在漸近線上一點總有四條直線與雙曲線有且只有一個交點，兩條切線和兩條與漸近線平行的直線；②過雙曲線上一點總有三條直線與雙曲線有且只有一個交點，一條切線和兩條與漸近線平行的直線；③過雙曲線內(nèi)一點總有兩條直線與雙曲線有且只有一個交點，兩條與漸近線平行的直線． 2．必清誤區(qū) (1)在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況． (2)中點弦問題，可以利用“點差法”

7、，但不要忘記驗證Δ>0或說明中點在曲線內(nèi)部． 考點分項突破 考點一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點． 【解】　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ>0，即－3

8、即m＝±3時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點． (3)當(dāng)Δ<0，即m<－3或m>3時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點． 歸納；直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法及關(guān)注點 1．判定方法：直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x(或y)，判定該方程組解的個數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點． 2．關(guān)注點：(1)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，應(yīng)注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況．(2)判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，判別式Δ起著關(guān)鍵性的作用：第一，可以

9、限定所給參數(shù)的范圍；第二，可以取舍某些解以免產(chǎn)生增根． 考點二: 直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 1.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求E的離心率； (2)設(shè)點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程． 【解】　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，l的方程為y＝x＋c，其中c＝.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y，化簡得(a2＋b2)x2＋

10、2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝.因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，所以E的離心率e＝＝＝. (2)設(shè)AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1， 即＝－1，得c＝3，從而a＝3，b＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 跟蹤訓(xùn)練 1.(xx·陜西高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，左右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． (1)求橢圓的方程； (2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2

11、為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足＝，求直線l的方程． 【解】　(1)由題設(shè)知解得∴橢圓的方程為＋＝1. (2)由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1， ∴圓心到直線l的距離d＝，由d<1得|m|<.(*)∴|CD|＝2＝2 ＝ . 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得x2－mx＋m2－3＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝＝ . 由＝，得＝1，解得m＝±，滿足(*)．∴直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－. 歸納：應(yīng)用弦長公式的兩個注意點 1．利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不存在時，可直接求交點坐標(biāo)再求弦

12、長． 2．涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應(yīng)用． 考點三: 中點弦問題 ●命題角度1　由中點弦確定直線方程 1．已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點，則l的方程是________． 【解析】　設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則＋＝1，且＋＝1，兩式相減得＝－.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直線l的方程為y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.【答案】　x＋2y－8＝0 ●命題角度2　由中點弦確定曲線方程或參數(shù)的值 2．橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為(

13、　　) A. B. C. D. 【解析】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點為P，由題意知＝. 由得＝－. 所以＝，故選A.【答案】　A ●命題角度3　由中點弦解決對稱問題 3．已知雙曲線x2－＝1上存在兩點M，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且MN的中點在拋物線y2＝18x上，則實數(shù)m的值為________． 【解析】　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)，則由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，顯然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，∵M，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱， ∴kMN＝－1

14、，∴y0＝－3x0，又∵y0＝x0＋m， ∴P，代入拋物線方程得m2＝18·， 解得m＝0或－8，經(jīng)檢驗都符合．【答案】　0或－8 歸納：處理中點弦問題常用的求解方法 1．點差法 即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率． 2．根與系數(shù)的關(guān)系 即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解． 。 學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。

15、 學(xué)生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描，來

16、澄清概念，加強理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢

17、 由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法． 2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用．　 3.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。