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1、2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——函數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的圖象學(xué)案
【考點(diǎn)梳理】
1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；
(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；
(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；
(4)描點(diǎn)連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱(chēng)變換
①y＝f(x)的圖象y＝－f(x)的圖象；
②y＝f(x)的圖象y＝f(－x)的圖象；
③y＝f(x)的圖象y＝－f(－x)的圖象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象．
(3)伸縮變換
①y＝f(x)的圖象
y＝f(ax
2、)的圖象；
②y＝f(x)的圖象
y＝af(x)的圖象．
(4)翻轉(zhuǎn)變換
①y＝f(x)的圖象y＝|f(x)|的圖象；
②y＝f(x)的圖象y＝f(|x|)的圖象．
【考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)一、作函數(shù)的圖象
【例1】作出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2.
[解析] (1)首先作出y＝lg x的圖象C1，然后將C1向右平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖①所示(實(shí)線部分)．
(2)y＝2x＋1－1的圖象可由
3、y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位，得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個(gè)單位得到，如圖②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其圖象如圖③所示．
【類(lèi)題通法】
畫(huà)函數(shù)圖象的一般方法
(1)直接法．當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；
(2)圖象變換法．若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
分別畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝|x－1|，x∈R；(3)y＝.
[解析] (1)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸
4、翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖①.
(2)可先作出y＝x－1的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不變可得y＝|x－1|的圖象．如圖②中實(shí)線部分所示．
(3)∵y＝2＋，故函數(shù)圖象可由y＝圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖③.
① ② ③
考點(diǎn)二、識(shí)圖與辨圖
【例2】(1)函數(shù)y＝ln |x|－x2的圖象大致為( )
(2)如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點(diǎn)在矩形的邊上滑動(dòng)，且MN＝1，當(dāng)N沿A
5、→D→C→B→A在矩形的邊上滑動(dòng)一周時(shí)，線段MN的中點(diǎn)P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為( )
[答案] (1) A (2) D
[解析] (1)函數(shù)y＝ln |x|－x2的定義域?yàn)閧x|x≠0}且為偶函數(shù)，所以排除選項(xiàng)B，D.又當(dāng)x>0時(shí)，y＝ln x－x2，y′＝－2x，令y′＝0，解得x＝，或x＝－(舍去)．則當(dāng)0時(shí)，函數(shù)y＝ln |x|－x2單調(diào)遞減．故選A.
(2)法一：由題意可知點(diǎn)P的軌跡為圖中虛線所示，其中四個(gè)角均是半徑為的扇形．
因?yàn)榫匦蜛BCD
6、的周長(zhǎng)為8，AB＝x，
則AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，
顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，
且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4－∈(3,4)，故選D.
法二：在判斷出點(diǎn)P的軌跡后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3－∈(2,3)，故選D.
【類(lèi)題通法】
函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；
(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；
(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．
7、【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1．函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]的圖象大致為( )
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函數(shù)，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.設(shè)g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)，排除C.故選D.
2．如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y
8、＝f(x)的圖象大致為( )
A B C D
[答案] B
[解析] 當(dāng)點(diǎn)P沿著邊BC運(yùn)動(dòng)，即0≤x≤時(shí)，
在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，
在Rt△PAB中，|PA|＝＝，
則f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，它不是關(guān)于x的一次函數(shù)，圖象不是線段，故排除A和C；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，即x＝時(shí)，由上得f＝＋tan＝＋1，又當(dāng)點(diǎn)P與邊CD的中點(diǎn)重合，即x＝時(shí)，△PAO與△PBO是全等的腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.綜上，選B.
考點(diǎn)三、函數(shù)圖
9、象的應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)
C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)
D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)
[答案] C
[解析] 將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減．
【類(lèi)題通法】
研究函數(shù)性質(zhì)：
①根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象，從最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值．
10、②從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性．
③從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．
④從圖象與x軸的交點(diǎn)情況，分析函數(shù)的零點(diǎn)等．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù)
C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)
[答案] D
[解析] 函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確．
【例4】已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：①定義域?yàn)镽；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝－|x|＋1.則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3，5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是(
11、)
A．5 B．6 C．7 D．8
[答案] A
[解析] 依題意畫(huà)出y＝f(x)與y＝log2|x|的圖象如圖所示，由圖可知，解的個(gè)數(shù)為5.
【類(lèi)題通法】
研究方程根的個(gè)數(shù)或由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
已知f(x)＝則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．
[答案] 5
[解析] 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(
12、x)＝或1.作出y＝f(x)的圖象，由圖象知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.
【例5】函數(shù)f(x)是定義在[－4，4]上的偶函數(shù)，其在[0，4]上的圖象如圖所示，那么不等式＜0的解集為_(kāi)_______．
[答案] ∪
[解析] 在上，y＝cos x＞0，在上，y＝cos x＜0.
由f(x)的圖象知在上＜0，
因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，y＝cos x也是偶函數(shù)，
所以y＝為偶函數(shù)，
所以＜0的解集為∪.
【類(lèi)題通法】
研究不等式的解：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1
2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——函數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的圖象學(xué)案
