2022高考數(shù)學 考點突破——隨機變量及其分布：離散型隨機變量及其分布列學案

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1、2022高考數(shù)學 考點突破——隨機變量及其分布：離散型隨機變量及其分布列學案 【考點梳理】 1．離散型隨機變量 隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量. 2．離散型隨機變量的分布列及性質 (1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布列. (2)離散型隨機變量的分布列的性質： ①pi≥0(i＝

2、1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．常見離散型隨機變量的分布列 (1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率. (2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機變量X服從超幾何分布. X 0 1 … m P … 【考點突破】 考點一、離散型隨機變量分布列的性質 【例1】(1)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為： X

3、－1 0 1 P 2－3q q2 則q的值為(　　) A．1 B．± C．－ D．＋ (2)離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P的值為(　　) A． B． C． D． [答案] (1) C (2) D [解析] (1)由分布列的性質知 ∴q＝－. (2)由×a＝1，知a＝1.∴a＝. 故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 【類題通法】 分布列性

4、質的兩個作用 (1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性. (2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率. 【對點訓練】 1．設隨機變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p為(　　) A． B． C． D． [答案] C [解析] 由分布列的性質，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝. 2．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，則P(2

5、__. [答案] [解析] ∵P(X＝k)＝，k＝1，2，…，∴P(2

6、， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 【類題通法】 1．隨機變量是否服從超幾何分布的判斷 若隨機變量X滿足如下條件，則X服從超幾何分布：第一，該試驗是不放回地抽取n次；第二，隨機變量X表示抽取到的某類個體的個數(shù)(如次品件數(shù)或類似事件)，反之亦然． 2．超幾何分布的特征 (1)考察對象分兩類； (2)已知各類對象的個數(shù)； (3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布． 3．超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型. 【對點訓練】 在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法

7、如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列. [解析] (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝. (2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則 P(X＝0)＝＝

8、， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 考點三、求離散型隨機變量的分布列 【例3】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列. [解析] (1)記“第一次檢測出的

9、是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200，300，400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 【類題通法】 離散型隨機變量分布列的求解步驟 (1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義. (2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率. (3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列. (4)做檢驗：利用分布列的性質檢驗分布列是否正確. 【對點訓練】 從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中，每摸出2個球為一次試驗，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗結束． (1)求第一次試驗恰好摸到一個紅球和一個白球的概率； (2)記試驗次數(shù)為X，求X的分布列． [解析] (1)記“第一次試驗恰好摸到一個紅球和一個白球”為事件A，則P(A)＝＝. (2)由題知X的可能取值為1，2，3，4.則 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝·＝， P(X＝3)＝··＝， P(X＝4)＝··＝. X的分布列為 X 1 2 3 4 P