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1、2022年中考數學總復習 第四單元 圖形的初步認識與三角形單元測試 湘教版
一、選擇題(每題6分,共30分)
1.如圖D4-1,AB∥CD,∠DEC=100°,∠C=40°,則∠B的大小是 ( )
圖D4-1
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如圖D4-2,在平面直角坐標系中,已知點A(2,4),過點A作AB⊥x軸于點B.將△AOB以坐標原點O為位似中心縮小為原圖形的,得到△COD,則CD的長度是 ( )
圖D4-2
A.2 B.1 C.4 D.2
3.如圖D4-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分線交AB于點D,交A
2、C于點E,連接BE,則∠CBE的度數為 ( )
圖D4-3
A.70° B.80° C.40° D.30°
4.如圖D4-4,在邊長為4的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,則△ADE的面積是( )
圖D4-4
A. B. C. D.2
5.如圖D4-5,在Rt△ABC中,∠A=90°,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為 ( )
圖D4-5
A.4 B.6 C.4 D.8
二、填空題(每題6分,共24分)
6.已知兩個角的和是67°56',差是12°40',
3、則這兩個角的度數分別是 .?
7.如圖D4-6,一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向,且距離燈塔18海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處,此時漁船與燈塔P的距離約為 海里.(結果取整數,參考數據:sin55°≈0.8,cos55°≈0.6,tan55°≈1.4)?
圖D4-6
8.在△ABC中,BC=2,AB=2,AC=b,且關于x的方程x2-4x+b=0有兩個相等的實數根,則AC邊上的中線長為 .?
9.如圖D4-7,將邊長為6 cm的正方形ABCD折疊,使點D落在AB邊的中點E處,折痕為FH,點C落在點Q處,EQ與
4、BC交于點G,則△EBG的周長是 .?
圖D4-7
三、解答題(共46分)
10.(10分)如圖D4-8,甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78 m,從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°,測得底部C處的俯角為58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結果取整數,參考數據:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60).
圖D4-8
11.(12分)如圖D4-9,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,CE⊥BD于E,AB=EC.
(1)求證:△ABD≌△ECB;
(2)若∠EDC=65°,求∠ECB的度數;
(3)
5、若AD=3,AB=4,求DC的長.
圖D4-9
12.(12分)如圖D4-10,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,點D是AB的中點,點P是AB上的一個動點(點P與點A,B不重合),矩形PECF的頂點E,F分別在BC,AC上.
(1)探究DE與DF的數量與位置關系,并給出證明;
(2)當點P滿足什么條件時,線段EF的長最短?(直接給出結論,不必說明理由)
圖D4-10
13.(12分)如圖D4-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,連接AD,作BF⊥AD分別交AD于E,交AC于F.
(1)
6、如圖①,若BD=BA,求證:△ABE≌△DBE.
(2)如圖②,若BD=4DC,取AB的中點G,連接CG交AD于M.
求證:①GM=2MC;②AG2=AF·AC.
圖D4-11
參考答案
1.B 2.A
3.D [解析] 在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=70°.
∵線段AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
4.A [解析] 邊長為4的等邊三角形的面積為×4×2=4,因為D,E分別為AB,AC的中點,所以
7、△ADE∽△ABC,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4,所以S△ADE=×4=,故選A.
5.B [解析] ∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,
∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,
∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故選B.
6.40°18',27°38'
7.11 [解析] 如圖,作PC⊥AB于C.
在Rt△PAC中,∵PA=
8、18,∠A=30°,∴PC=PA=×18=9.
在Rt△PBC中,∵PC=9,∠B=55°,∴PB=≈≈11,
即此時漁船與燈塔P的距離約為11海里.
8.2 [解析] 因為關于x的方程x2-4x+b=0有兩個相等的實數根,所以Δ=(-4)2-4b=16-4b=0,得AC=b=4.因為BC=2,AB=2,所以BC2+AB2=AC2,所以三角形ABC為直角三角形,AC為斜邊,則AC邊上的中線長為斜邊的一半,取值為2.
9.12 cm [解析] 根據折疊性質可得∠FEG=90°,設AF=x,則EF=FD=6-x.∵E為AB的中點,∴AE=AB=3.在Rt△AEF中,AF2+AE2=EF2,
9、即x2+32=(6-x)2,解得x=,∴AF=,EF=.根據△AFE∽△BEG,可得==,即==,∴BG=4,EG=5,∴△EBG的周長為3+4+5=12(cm).
10.解:如圖,過點D作DE⊥AB,垂足為E,
則∠AED=∠BED=90°.
由題意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,
∠ABC=90°,∠DCB=90°,
可得四邊形BCDE為矩形,
∴ED=BC=78,DC=EB.
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.
在Rt△AED中,tan∠ADE=,
∴AE=ED·tan48°,
∴EB
10、=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38,∴DC=EB≈38.
答:甲建筑物的高度AB約為125 m,乙建筑物的高度DC約為38 m.
11.解:(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC.
在△ABD與△ECB中,
∴△ABD≌△ECB.
(2)由(1)證得△ABD≌△ECB,
∴BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=65°,
∵∠DCE=90°-65°=25°,∴∠ECB=65°-25°=40°.
(3)由(1)證得△ABD≌△ECB,
∴CE=AB=4,BE=AD=3,
∴BD=BC==5,
∴DE=2,∴CD==2
11、.
12.解:(1)DE=DF,DE⊥DF.
證明:連接CD.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,點D是AB的中點,∴CD=AD,CD⊥AD.
∵四邊形PECF是矩形,∴CE=FP,FP∥CB,
∴△APF是等腰直角三角形,
∴AF=PF=EC,∠DCE=∠A=45°,
∴△DCE≌△DAF,∴DE=DF,∠ADF=∠CDE.
∵∠ADF+∠FDC=∠CDA=90°,
∴∠CDE+∠FDC=∠EDF=90°,∴DE⊥DF.
即DE=DF,DE⊥DF.
(2)∵DE=DF,DE⊥DF,∴EF=DE=DF,
∴當DE和DF同時最短時,EF最短,
∴當DF⊥AC
12、,DE⊥BC時,二者最短,
則此時點P與點D重合,
∴當點P與點D重合時,線段EF的長最短.
13.證明:(1)∵BF⊥AD,∴∠AEB=∠DEB=90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中,
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).
(2)①連接GD,∵BD=4DC,G是AB的中點,
∴S△ADC=S△ABC,S△ADG=×S△ABC=S△ABC,
∴=====2∶1,
∴GM=2MC.
②過點C作CN⊥AC,交AD的延長線于N,則AB∥CN,
∴△ADB∽△NDC,∵BD=4DC,∴===4∶1.
又∵BF⊥AD,∠BAC=90°,∴∠ABE+∠BAE=∠FAE+∠BAE,∴∠ABE=∠FAE,即∠ABF=∠CAN.
在Rt△ABF與Rt△CAN中,∵∠BAF=∠ACN=90°,∠ABF=∠CAN,
∴Rt△ABF∽Rt△CAN,∴=,∴AF·CA=AB·CN=AB2=AG2,∴AG2=AF·AC.
2022年中考數學總復習 第四單元 圖形的初步認識與三角形單元測試 湘教版
