2022高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明基本不等式的證明1.掌握基本不等式 （a0，b0）；2.能用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式（指只用一次基本不等式，即可解決的問題）選擇題填空題基本不等式的證明中要注意多次運(yùn)用公式等號(hào)能否同時(shí)取到，這一章節(jié)也是不等式的難點(diǎn)。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式證明不等式。難點(diǎn)：理解基本不等式等號(hào)成立的條件?？键c(diǎn)一：基本不等式如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”），我們把不等式稱為基本不等式。【要點(diǎn)詮釋】 對(duì)于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)

2、，稱為a，b的幾何平均數(shù)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 對(duì)于“=”的理解應(yīng)為若，則且若，則，也就是說當(dāng)時(shí)，。 注意與成立的條件是不同的，前者是，后者是?？键c(diǎn)二：基本不等式的其他形式基本不等式的四種形式 ；（）； （）； （）； （）?！疽c(diǎn)詮釋】?jī)煞N形式的前提是，兩種形式的前提是；四種形式等號(hào)成立的條件都是?？键c(diǎn)三：利用基本不等式證明不等式（1）注意均值不等式的前提條件；（2）通過加減項(xiàng)的方法配湊成使用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的形式；（3）注意“1”的代換；（4）靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用。如；（5）合理配組，反復(fù)應(yīng)用不等式?；静坏仁骄?/p>

3、有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)。【隨堂練習(xí)】若0a1,0b1，且ab，則ab,2，2ab，a2b2中最大的一個(gè)是_。思路分析：（1）利用特殊值法判斷；（2）利用基本不等式判斷大小。答案：方法一：取，則。顯然ab最大。方法二：因?yàn)?a1,0b1，ab，所以ab2，a2b22ab，所以四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)應(yīng)從ab，a2b2中選擇而a2b2（ab）a（a1）b（b1），又因?yàn)?a1,0b1，所以a（a1）0，b（b1）0，所以a2b2（ab）0，即a2b2ab，

4、所以ab最大。技巧點(diǎn)撥：特殊值法是解決客觀題的一種簡(jiǎn)單實(shí)用的方法；基本不等式是比較大小的一種途徑。例題1 （基本不等式的簡(jiǎn)單證明）已知abc，求證：。思路分析：不等式左側(cè)分式含a，b，c三個(gè)字母，右側(cè)只有a，c，把a(bǔ)c用abbc表達(dá)，然后利用配湊法、基本不等式，把分式縮為整式。 答案：abc，ab0，bc0，acabbc0，所證不等式等價(jià)于 （ac）4。又 （ac） 技巧點(diǎn)撥：在解題過程中，把數(shù)值或代數(shù)式拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或是恒等地配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子是數(shù)學(xué)表達(dá)式變形過程中比較常用的方法，也是一種解題技巧。例題2 （多次利用基本不等式證明簡(jiǎn)單不等式）已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：abc。

5、思路分析：分析不等式結(jié)構(gòu)利用基本不等式同向不等式相加分析等號(hào)是否成立。答案： a0，b0，c0， ab2，bc2，ca2，2（abc）2（），即abc，由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立。abc。技巧點(diǎn)撥： 本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所證的不等式，要注意基本不等式的使用條件，對(duì)“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”這句話要搞清楚。例題3 （含條件的不等式的證明）已知a，b，cR，且abc1，求證：9。思路分析：利用“1”的代換，把中的1用abc代換，然后利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)和基本不等式解決。答案：abc1，32229。當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)。技巧點(diǎn)撥：使用基本

6、不等式證明問題時(shí)，要注意條件是否滿足，同時(shí)注意等號(hào)能否取到，問題中若出現(xiàn)“1”要注意“1”的整體代換，多次使用基本不等式，要注意等號(hào)能否同時(shí)成立?！就卣褂?xùn)練】一道綜合不等式的證明【滿分訓(xùn)練】 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足yx20，且0a1，求證：loga（axay）loga2。思路分析：通過代換減少變量，利用基本不等式和一元二次函數(shù)的最值解決。答案：ax0，ay0，axay2，又0a1，loga（axay）loga2logaaxyloga2 （xy）loga2。因?yàn)閥x20，loga（axay） （xx2）loga2 （x）2loga2loga2，又上式中等號(hào)不能同時(shí)取到，所以原不等式得證。技巧點(diǎn)撥：注意：在利用基本不等式和一元二次不等式時(shí)，求最值中等號(hào)不能同時(shí)取到。