2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)能力訓(xùn)練 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)能力訓(xùn)練 理一、選擇題1(2018廣西南寧模擬)雙曲線1的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx解析:在雙曲線 1中,a5,b2,而其漸近線方程為yx,其漸近線方程為yx,故選D.答案:D2已知橢圓C的方程為1(m0),如果直線yx與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F,則m的值為()A2B2C8D2解析:根據(jù)已知條件得c,則點(diǎn)在橢圓1(m0)上,1,可得m2.答案:B3(2018張掖模擬)雙曲線1(a0,b0)的漸近線與圓x2(y2)21相切,則雙曲線的離心率為()A.B. C2D3解析

2、:雙曲線1的漸近線與圓x2(y2)21相切,則圓心(0,2)到直線bxay0的距離為1,所以1,即1,所以雙曲線的離心率e2,故選C.答案:C4(2017高考全國(guó)卷)已知橢圓C:1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,則C的離心率為()A.B. C.D.解析:以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0),半徑為a.由題意,圓心到直線bxay2ab0的距離為a,即a23b2.又e21,所以e.答案:A5已知雙曲線1(a0,b0)的焦距為4,漸近線方程為2xy0,則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1解析:易知雙曲線1(a0,b

3、0)的焦點(diǎn)在x軸上,所以由漸近線方程為2xy0,得2,因?yàn)殡p曲線的焦距為4,所以c2,結(jié)合c2a2b2,可得a2,b4,所以雙曲線的方程為1,故選A.答案:A6(2018長(zhǎng)春模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|()A1B2C4D.解析:不妨設(shè)P在雙曲線的左支,如圖,延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)M,由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M,故PF1M為等腰三角形,|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn),所以O(shè)H為MF1F2的中位線,所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1

4、|)1.故選A.答案:A7(2018高考全國(guó)卷)已知雙曲線C:1(a0,b0)的離心率為,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B2C.D2解析:由題意,得e,c2a2b2,得a2b2.又因?yàn)閍0,b0,所以ab,漸近線方程為xy0,點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2,故選D.答案:D8(2018石家莊一模)已知直線l:y2x3被橢圓C:1(ab0)截得的弦長(zhǎng)為7,有下列直線:y2x3;y2x1;y2x3;y2x3.其中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有()A1條B2條C3條D4條解析:易知直線y2x3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線y2x3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱,直線y2x3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱,故由橢

5、圓的對(duì)稱性可知,有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7.選C.答案:C9(2018洛陽(yáng)模擬)設(shè)雙曲線C:1的右焦點(diǎn)為F,過F作雙曲線C的漸近線的垂線,垂足分別為M,N,若d是雙曲線上任意一點(diǎn)P到直線MN的距離,則的值為()A.B.C.D無法確定解析:雙曲線C:1中,a4,b3,c5,右焦點(diǎn)F(5,0),漸近線方程為yx.不妨設(shè)M在直線 yx上,N在直線yx上,則直線MF的斜率為,其方程為y(x5),設(shè)M(t,t),代入直線MF的方程,得t(t5),解得t,即M(,)由對(duì)稱性可得N(,),所以直線MN的方程為x.設(shè)P(m,n),則d|m|,1,即n2(m216),則|PF|5m16|.故,故選B.

6、答案:B10(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則()A5B6 C7D8解析:由題意知直線MN的方程為y(x2),聯(lián)立直線與拋物線的方程,得解得或不妨設(shè)M為(1,2),N為(4,4)又拋物線焦點(diǎn)為F(1,0),(0,2),(3,4),03248.故選D.答案:D11(2018廣西五校聯(lián)考)已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),若10,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(,1)B(1,1)C(1,)D(,)解析:設(shè)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),依題意可得1,

7、得到y(tǒng),不妨設(shè)M,N,則114c20,得到4a2c2(c2a2)20,即a4c46a2c20,故e46e210,解得32e232,又e1,所以1e232,解得1e1答案:B12(2018南昌模擬)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若x1x24|AB|,則AFB的最大值為()A.B.C.D.解析:由拋物線的定義可得|AF|x12,|BF|x22,又x1x24|AB|,得|AF|BF|AB|,所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2,而0AFB,所以AFB的最大值為.答案:D二、填空題13(2018成都模擬)已知雙曲線1(a0)和拋物線y2

8、8x有相同的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為_解析:易知拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0),所以雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則a2222,即a,所以雙曲線的離心率e.答案:14(2018武漢調(diào)研)雙曲線:1(a0,b0)的焦距為10,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則的實(shí)軸長(zhǎng)等于_解析:雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線yx,即axby0的距離為b3,所以a4,2a8.答案:815(2018唐山模擬)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|2|BF|6,則p_.解析:設(shè)AB的方程為xmy,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmy

9、p20,所以y1y2p2,4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過A作ACl,垂足為C,過B作BDl,垂足為D,因?yàn)閨AF|2|BF|6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|AC|x16,|BF|BD|x23,所以x1x23,x1x29p,所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2,即18p720,解得p4.答案:416(2017高考全國(guó)卷改編)設(shè)A,B是橢圓C:1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120,則m的取值范圍是_解析:當(dāng)0m3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120,則tan 60,即 ,解得0m1.當(dāng)m3時(shí),焦點(diǎn)在y軸上,要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120,則tan 60,

10、即,解得m9.故m的取值范圍為(0,19,)答案:(0,19,)三、解答題17(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,若BF1F2的周長(zhǎng)為6,且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為b.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A1,A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1P交直線xm于點(diǎn)M,若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,求實(shí)數(shù)m的值解析:(1)由題意得F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),則2a2c6,直線BF2的方程為bxcybc0,所以b,即2ca,又a2b2c2,所以由可得a2,b,所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A

11、1(2,0),A2(2,0),P(x0,y0),則直線A1P的方程為y(x2),所以M(m,(m2),又點(diǎn)P在橢圓C上,所以y3(1),若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,則A2MA2P,0,所以(m2,(m2)(x02,y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)(m)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1,A2,所以x02,所以m14.18(2018福州模擬)拋物線C:y2x24xa與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),其中與y軸的交點(diǎn)為P.(1)若點(diǎn)Q(x,y)(1x4)在C上,求直線PQ斜率的取值范圍;(2)證明:經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓E過定點(diǎn)解析:(1)由題意得P(0,a)(a0),Q(x,2x24xa

12、)(1x4),故kPQ2x4,因?yàn)?x4,所以2kPQ4,所以直線PQ的斜率的取值范圍為(2,4)(2)證明:法一:P(0,a)(a0)令2x24xa0,則168a0,a2,且a0,解得x1,故拋物線C與x軸交于A(1,0),B(1,0)兩點(diǎn)故可設(shè)圓E的圓心為M(1,t),由|MP|2|MA|2,得12(ta)2()2t2,解得t,則圓E的半徑r|MP|.所以圓E的方程為(x1)2(y)21()2,所以圓E的一般方程為x2y22x(a)y0,即x2y22xya(y)0.由得或故圓E過定點(diǎn)(0,),(2,)法二:P(0,a)(a0),設(shè)拋物線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0),B(x2,0)

13、,圓E的一般方程為x2y2DxFyG0,則因?yàn)閤1,x2是方程2x24xa0,即x22x0的兩根,所以x2x10,x2x20,所以D2,G,所以F(a),所以圓E的一般方程為x2y22x(a)y0,即x2y22xya(y)0.由得或故圓E過定點(diǎn)(0,),(2,)19(2018廣州模擬)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:1(ab0)的上焦點(diǎn)為F1,橢圓C的離心率為,且過點(diǎn)(1,)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)H,若0,且|MO|MA|,求直線l的方程解析:(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以,即a2

14、c.又a2b2c2,所以b23c2,即b2a2,所以橢圓C的方程為1.把點(diǎn)(1,)代入橢圓C的方程中,解得a24.所以橢圓C的方程為1.(2)由(1)知,A(0,2),設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為ykx2,由得(3k24)x212kx0.設(shè)B(xB,yB),得xB,所以yB,所以B(,)設(shè)M(xM,yM),因?yàn)閨MO|MA|,所以點(diǎn)M在線段OA的垂直平分線上,所以yM1,因?yàn)閥MkxM2,所以xM,即M(,1)設(shè)H(xH,0),又直線HM垂直于直線l,所以kMH,即.所以xHk,即H(k,0)又F1(0,1),所以(,),(k,1)因?yàn)?,所以(k)0,解得k.所以直線l的方程為yx2.

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