（江蘇專(zhuān)用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第48講 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案

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1、 第48講　空間幾何體的表面積與體積 考試要求　1.空間幾何體的表面積(A級(jí)要求)，體積(A級(jí)要求)；2.高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以填空題為主.應(yīng)關(guān)注空間幾何體表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(　　) (3)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形.(　　) (4)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(　　) (5)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則R＝a.(　　) 解析　如圖中的幾何體有兩個(gè)面平行，其

2、余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)錯(cuò)；(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，故(2)錯(cuò). 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2.(必修2P69復(fù)習(xí)題5改編)若長(zhǎng)方體相鄰的三個(gè)面的面積分別是，，，則長(zhǎng)方體的體積為_(kāi)_______. 解析　可求三棱長(zhǎng)為1，，，則體積為1××＝. 答案　 3.(2017·天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______. 解析　設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則6a2＝18?a2＝3，a＝.

3、外接球直徑為2R＝a＝3，R＝，V＝πR3＝π×＝π. 答案　 4.(必修2P71復(fù)習(xí)題20改編)設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝，PC＝3，則球O的表面積是________. 解析　可把PA，PB，PC看成長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，則球O的半徑的大小為＝2，所以球O的表面積為16π. 答案　16π 5.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為_(kāi)_______. 解析　如圖畫(huà)出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝. ∴

4、底面圓半徑r＝＝， 故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝. 答案　 6.將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為_(kāi)_______. 解析　取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.因?yàn)镈O＝BO＝＝a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.又因?yàn)镈O⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱錐D－ABC的高.因?yàn)镾△ABC＝a2，所以三棱錐D－ABC的體積為×a2×a＝a3. 答案　a3 知 識(shí) 梳 理 1.多面體的結(jié)構(gòu)特征 2.旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形

5、旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺(tái) 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積 　　名稱 幾何體 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.常用結(jié)論 (1)與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 ①一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. ②底面面積及高都相等的兩

6、個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等. (2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 a.正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R， ①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a； ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. b.若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 考點(diǎn)一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例1】 給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； ④棱臺(tái)的

7、側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn). 其中正確命題的序號(hào)是________. 解析?、俨徽_，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知. 答案　②③④ 規(guī)律方法　(1)解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷. (2)解決本類(lèi)題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問(wèn)題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用

8、反例對(duì)概念類(lèi)的命題進(jìn)行辨析. 【訓(xùn)練1】 (1)以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面； ④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái). 其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. (2)給出下列四個(gè)命題： ①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的幾何體是直棱柱； ②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； ③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體； ④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正確的命題為_(kāi)_______(填序號(hào)). 解析　(1)命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角

9、三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故正確的命題個(gè)數(shù)為1. (2)對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確. 綜上，命題①②③不正確. 答案　(1)1　(2)①②③ 考點(diǎn)二　求空間幾何體的表面積 【例2】 (1)一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______. (2)(2018·蘇

10、州模擬)如圖，斜三棱柱ABC－A′B′C′中，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面積. (1)解析　由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××2××h＝2， ∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12. 答案　12 (2)解　如圖，過(guò)A′作A′D⊥平面ABC于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 連接A′E，A′F，AD. 則由∠A′AE＝∠A′AF， AA′＝AA′， 又由題意知A′E⊥AB，A′F⊥AC， 得Rt△A′AE≌Rt△A

11、′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， 又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四邊形BCC′B′是矩形， ∴斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin 45°＋ab＝(＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面積為2×a2＝a2， ∴斜三棱柱的表面積為(＋1)ab＋a2. 規(guī)律方法　(1)解決組合體問(wèn)題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況. (2)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. (3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算

12、側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 【訓(xùn)練2】 一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3 cm和6 cm，高是 cm. (1)求三棱臺(tái)的斜高； (2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積. 解　(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝，作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺(tái)的斜高； 過(guò)D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝， 因?yàn)镺1D1＝×3＝，OD＝×6＝， 則DE＝OD－O1D1＝－＝. 在Rt△D1DE中， D1D＝＝＝(cm). 故三棱臺(tái)的斜高為 cm. (2

13、)設(shè)c、c′分別為上、下底的周長(zhǎng)，h′為斜高， S側(cè)＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝ (cm2)， S表＝S側(cè)＋S上＋S下＝＋×32＋×62 ＝ (cm2). 故三棱臺(tái)的側(cè)面積為 cm2，表面積為 cm2. 考點(diǎn)三　空間幾何體的體積 【例3】 (1)(2015·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_______． (2)(2018·鹽城模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2 cm，E為C1D1的中點(diǎn)，則三棱錐

14、EA1BC的體積為_(kāi)_______ cm3. 解析　(1)設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. (2)V三棱錐EA1BC＝V三棱錐EA1D1C＝V三棱錐A1－D1EC＝S△D1EC· A1D1＝××1×2×2＝. 答案　(1)　(2) 規(guī)律方法　空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用換底法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 【訓(xùn)練3】 如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是

15、邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______. 解析　如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH， 容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝， ∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝， ∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝. 答案　 考點(diǎn)四　與球有關(guān)的問(wèn)題 【例4】 (2018·揚(yáng)州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為_(kāi)____

16、___. 解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線， 則垂足為BC的中點(diǎn)M. 又AM＝BC＝， OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 答案　 規(guī)律方法　空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解. (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解. 【訓(xùn)練4】 (1)已知棱長(zhǎng)為4的

17、正方體，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？ (2)已知棱長(zhǎng)為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？ (3)已知側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？ 解　(1)由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r. 又正方體的棱長(zhǎng)為4，故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4， 從而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π， V內(nèi)切球＝πr3＝π×23＝. (2)正四面體的表面積為S1＝4··a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積

18、為S2＝4πr2＝，則＝＝. (3)依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3×＝6，高為 ＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3. 一、必做題 1.用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為_(kāi)_______. 解析　依題意，設(shè)球半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25， ∴S球＝4πR2＝100π. 答案　100π 2.(2018·連云港模擬)五棱柱中不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)為_(kāi)_______. 解析　如圖，在

19、五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線均有兩條，共2×5＝10(條). 答案　10 3.給出下列命題： ①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)； ②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐； ③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱. 其中正確命題的序號(hào)是________. 解析　對(duì)于②，如圖，底面ABC為等邊三角形，且AB＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；對(duì)于③，必須是相鄰

20、的兩個(gè)側(cè)面才是直四棱柱. 答案　① 4.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為_(kāi)_______. 解析　由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長(zhǎng)為.∵ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側(cè)面ABB1A1的面積為×1＝. 答案　 5.(2018·鹽城一模)一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為

21、________. 解析　設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝·πa2·a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝·(a)3＝a3， 則其體積比為. 答案　 6.如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.則三棱錐P－ABC體積的最大值為_(kāi)_______. 解析　VP－ABC＝PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值.當(dāng)CO⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為×2×1＝1，此時(shí)VP－ABC＝PO·S△ABC＝. 答案　 7.(2018·徐州、

22、連云港、宿遷聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)锳A1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝＝，同理可得AC1＝，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高為h＝＝，其面積S△AB1C1＝×2×＝，于是三棱錐A－A1B1C1的體積V三棱錐A－A1B1C1＝V三棱錐A1－AB1C1＝×S△AB1C1×AA1＝，進(jìn)而可得此三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝3V三棱錐A－A1B1C

23、1＝3×＝. 答案　 8.已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________. 解析　(圖略)在四面體ABCD中，取線段CD的中點(diǎn)為E，連接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中點(diǎn)為F，連接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中點(diǎn)為O，連接OA，則OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是，∴外接球的表面積是7π. 答案　7π

24、9.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長(zhǎng)之和為_(kāi)_______. 解析　由題意，圖中弧為過(guò)球心的平面與球面相交所得大圓的一段弧，因?yàn)椤螦1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧長(zhǎng)公式知弧的長(zhǎng)為2×＝.弧為不過(guò)球心的平面與球面相交所得小圓的一段弧，其圓心為B，因?yàn)榍蛐牡狡矫鍮CC1B1的距離d＝，球的半徑R＝2，所以小圓的半徑r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧的長(zhǎng)為1×＝.故兩段弧長(zhǎng)之和為. 答案　π 10.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△AD

25、C沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示. (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積. (1)證明　在題圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC， BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為. 二、選做題 11.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 c

26、m，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_______. 解析　如圖，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng) x，則OG＝×x＝x， ∴FG＝SG＝5－x， SO＝h＝＝＝， ∴三棱錐的體積V＝S△ABC·h＝×x2×＝， 令n(x)＝5x4－x5，則n′(x)＝20x3－x4， 令n′(x)＝0，4x3－＝0，x＝4， Vm

27、ax＝×48×＝4. 答案　4 12.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： (1)該幾何體的體積； (2)截面ABC的面積. 解　(1)過(guò)C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于A2，B2. 由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2 ＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC中， AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝2. 則S△ABC＝×2× ＝. 15