（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式 第2講 一元二次不等式及其解法學案

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1、 第2講　一元二次不等式及其解法 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　一元二次不等式的解法 1．將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． 2．計算相應的判別式． 3．當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根． 4．利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集． 考點2　三個二次之間的關系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有

2、兩相異實根 x1，x2 (x10 (a>0)的解集 {x|x>x2或 x0)的解集 {x|x10(a≠0)恒成立的充要條件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0

3、的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．[課本改編]不等式(x－1)(2－x)≥0的解集為(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1

4、或x>2} 答案　A 解析　因為(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以結合二次函數(shù)的性質可得1≤x≤2.故選A. 3．[2018·遼陽統(tǒng)考]不等式≤0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 答案　D 解析　≤0?(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．故選D. 4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－4,1)，則不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集為(　　) A. B．(－∞，1)∪ C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪

5、(1，＋∞) 答案　A 解析　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－4,1)， 知a<0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根． ∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.則所求不等式轉化為3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0， 即3x2＋x－4<0，解得－

6、 板塊二　典例探究·考向突破 考向　一元二次不等式的解法 例　1　解下列關于x的不等式： (1)01； ②當01時，其解為0，其解為x<或x>1. 綜上所述a＝0時，不等式解集為{x|x>1}； 0

7、，不等式解集為； a>1時，不等式解集為； a<0時，不等式解集為； 當a＝1時，不等式解集為?. 觸類旁通 解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù) (1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式． (2)當不等式對應方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式． 【變式訓練1】　解不等式：(1)≥－1； (2)x2－(a2＋a)x＋a3>0. 解　(1)將原不等式移項通分得≥0， 等價于 所以原不等式的

8、解集為. (2)原不等式化為(x－a)(x－a2)>0， ①當a2－a>0，即a>1或a<0時， 原不等式的解為x>a2或xa； ③當a2－a＝0，即a＝0或a＝1時， 原不等式的解為x≠a. 綜上①②③得a>1或a<0時不等式解集為 {x|x>a2或xa}； 當a＝0或a＝1時，不等式解集為{x|x≠a}． 考向　一元二次不等式恒成立問題 例　2　[2018·正定模擬]已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1. (1)若對于x∈R，f(x

9、)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)當m＝0時，f(x)＝－1<0恒成立． 當m≠0時，則即－40，∴m<對于x∈[1,3]恒成立， 只需求的最小值，記g(x)＝，x∈[1,3]， 記h(x)＝x2－x＋1＝2＋， h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù)，則g(x)在[1,3]上為減函數(shù)， ∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m<. 所以m的取值范圍是.

10、　本例中(1)變?yōu)椋喝鬴(x)<0對于m∈[1,2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解　設g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象是直線，當m∈[1,2]時，圖象為一條線段， 則即 解得

11、<5－m有解， 即m<有解，則m0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，

12、則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 答案　A 解析　不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)

13、在x軸的下方， ∴即 解得a≥，即a的取值范圍是. 核心規(guī)律 1．“三個二次”的關系是解一元二次不等式的理論基礎，一般可把a<0時的情形轉化為a>0時的情形． 2．f(x)>0的解集即為函數(shù)y＝f(x)的圖象在x軸上方的點的橫坐標的集合，充分利用數(shù)形結合思想． 3．簡單的分式不等式可以等價轉化，利用一元二次不等式解法進行求解． 滿分策略 1．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記討論a＝0時的情形． 2．當Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?由a確定，要注意區(qū)別． 3．含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論. 板塊三　啟智

14、培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學思想系列7——轉化與化歸思想在不等式中的應用 [2018·江蘇模擬]已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)

15、與化歸思想：函數(shù)的值域和不等式的解集轉化為a，b滿足的條件；不等式恒成立可以分離常數(shù)，轉化為函數(shù)值域問題. (2)注意函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)與f(x)≥0的區(qū)別. 跟蹤訓練 若不等式a·4x－2x＋1>0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　a> 解析　不等式可變形為a>＝x－x， 令x＝t，則t>0. ∴y＝x－x＝t－t2＝－2＋，因此當t＝時，y取最大值，故實數(shù)a的取值范圍是a>. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·濰坊模擬]函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)

16、B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案　D 解析　由題意知即 故函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)∪(2,3)． 2．關于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，則p＋q的值為(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　依題意得q,1是方程x2＋px－2＝0的兩根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1.選B. 3．[2018·鄭州模擬]已知關于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，則a的值為(　　) A．－1 B. C．1 D．2 答案　D 解析　由題意可得a≠0且不等式等價于a(x＋1)x－>

17、0，由解集的特點可得a>0且＝，故a＝2.故選D. 4．[2018·福建模擬]若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,4) B．[0,4) C．(0,4] D．[0,4] 答案　D 解析　由題意知a＝0時，滿足條件． a≠0時，由得00，∴x<－1或x>1

18、. 6．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要條件是(　　) A．x>1或x< B．x>1或－1 答案　B 解析　原不等式等價于或 ∴或 ∴x>1或－10)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a

19、2)＝36a2＝152，得a＝.故選A. 8．[2018·青島模擬]不等式2x2－3|x|－35>0的解集為________． 答案　{x|x<－5或x>5} 解析　2x2－3|x|－35>0?2|x|2－3|x|－35>0?(|x|－5)(2|x|＋7)>0?|x|>5或|x|<－(舍)?x>5或x<－5. 9．已知關于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集為，則不等式－cx2＋2x－a>0的解集為________． 答案　(－2,3) 解析　依題意知， ∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即為－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2

20、所以不等式的解集為(－2,3)． 10．對于任意a∈[－1,1]，f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x取值范圍是________． 答案　(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析　令g(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由題意得g(－1)>0且g(1)>0，即解得x<1或x>3. [B級　知能提升] 1．[2018·保定模擬]若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是(　　) A. B. C．(1，＋∞) D. 答案　A 解析　由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負，所以方程必

21、有一正根、一負根． 于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解，只需滿足f(5)>0，即a>－. 2．[2018·遼寧模擬]若不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] 答案　D 解析　當k＝0時，顯然成立；當k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立， 則解得－3

22、最大值為________． 答案　 解析　原不等式等價于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)對任意x恒成立， x2－x－1＝2－≥－， 所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤. 4．[2018·池州模擬]已知函數(shù)f(x)＝的定義域為R. (1)求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關于x的不等式x2－x－a2－a<0. 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝的定義域為R， ∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立， 當a＝0時，1≥0恒成立． 當a≠0時，則有解得0

23、∵a>0，∴當x＝－1時，f(x)min＝， 由題意，得＝，∴a＝. ∴x2－x－2－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，－0. (1)求f(x)在[0,1]內(nèi)的值域； (2)若ax2＋bx＋c≤0的解集為R，求實數(shù)c的取值范圍． 解　(1)因為當x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)時，f(x)<0，當x∈(－3,2)時，f(x)>0， 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的兩根，可得所以a＝－3，b＝5， f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋18.75， 函數(shù)圖象關于x＝－對稱，且拋物線開口向下，所以在區(qū)間[0,1]上f(x)為減函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為f(0)＝18，最小值為f(1)＝12， 故f(x)在[0,1]內(nèi)的值域為[12,18]． (2)由(1)知，不等式ax2＋bx＋c≤0化為－3x2＋5x＋c≤0，因為二次函數(shù)y＝－3x2＋5x＋c的圖象開口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集為R，只需 即25＋12c≤0?c≤－，所以實數(shù)c的取值范圍為. 11