（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第5講 橢圓學(xué)案

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1、 第5講　橢圓 板塊一　知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識(shí)] 考點(diǎn)1　橢圓的概念 　在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)： (1)若a>c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若ab>0)上任意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時(shí)

2、，|OP|有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝±a時(shí)，|OP|有最大值a，P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)處． (2)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a為斜邊，a2＝b2＋c2. (3)已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a. (4)過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦之長為. (5)橢圓離心率e＝. [考點(diǎn)自測]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．(　　) (3)橢圓上一點(diǎn)P與兩

3、焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．[2017·浙江高考]橢圓＋＝1的離心率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵橢圓方程為＋＝1， ∴a＝3，c＝＝＝. ∴e＝＝.故選B. 3．[2018·廣東模擬]已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4

4、 D．9 答案　B 解析　由4＝(m>0)?m＝3，故選B. 4．[課本改編]已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　依題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，所以 解得a2＝9，b2＝8. 故橢圓C的方程為＋＝1. 5．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________. 答案　 解析　橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋＝1， 因?yàn)槠浣裹c(diǎn)在y軸上，所以a2＝，b2＝1， 依題意知 ＝2，解得m＝. 6．[2018·上海聯(lián)

5、考]若橢圓的方程為＋＝1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　4或8 解析?、佼?dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)[2018·杭州模擬]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、 右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由題意

6、及橢圓的定義知4a＝4，則a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為＋＝1，選A. (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為________． 答案　4 解析　連接PF2，則OM為△PF1F2的中位線， |OM|＝3，∴|PF2|＝6. ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4. 觸類旁通 (1)在利用橢圓定義解題的時(shí)候，一方面要注意到常數(shù)2a>|F1F2|這個(gè)條件；另一方面要熟練掌握由橢圓上任一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所組成的“焦點(diǎn)三角形”中的數(shù)量關(guān)系． (2)待定系數(shù)法求橢圓方程，若焦點(diǎn)位置明確

7、，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 【變式訓(xùn)練1】　(1)[2018·廈門模擬]已知橢圓＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)．則|PF1|·|PF2|的最大值為(　　) A．6 B．4 C．2 D．8 答案　B 解析　設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝2時(shí)，等號(hào)成立)．故選B. (2)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)，且長軸長與短軸長的

8、比是2∶，則橢圓C的方程是________． 答案?。? 解析　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意知解得a2＝16，b2＝12. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (3)[2017·豫北六校聯(lián)考]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長為16.則|AF2|＝________. 答案　5 解析　由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3. ∵△ABF2的周長為16，∴4a＝16，∴a＝4. 則|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， ∴|AF2|

9、＝8－|AF1|＝8－3＝5. 考向　橢圓的幾何性質(zhì)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　(1)[2017·全國卷Ⅲ]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝，∴e＝＝＝ ＝＝.故選A. (2)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是__

10、______． 答案　 解析　由題意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)． 觸類旁通 橢圓離心率的求解方法 求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率． 【變式訓(xùn)練2】　(1)[2016·全國卷Ⅰ]直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B.

11、 C. D. 答案　B 解析　不妨設(shè)直線l過橢圓的上頂點(diǎn)(0，b)和左焦點(diǎn)(－c，0)，b>0，c>0，則直線l的方程為bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)，故選B. (2)[2018·錦州模擬]設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________． 答案　 解析　在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.所以e＝＝＝. 考向　

12、橢圓中的焦點(diǎn)三角形 例3　[2018·漳浦縣校級(jí)月考]橢圓＋y2＝1上的一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形． (1)求·的最大值與最小值； (2)設(shè)∠F1PF2＝θ，求證：S△F1PF2＝tan. 解　(1)設(shè)P(x，y)，∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2－2. ∵x2∈[0,4]，∴x2－2∈[－2,1]． ∴·的最大值為1，最小值為－2. (2)證明：由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， 在△F1PF2中，由余弦定理可得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|P

13、F2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)， 可得4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)?|PF1|·|PF2|＝， 即有△F1PF2的面積S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2＝b2tan＝tan. 觸類旁通 橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理． 以橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則 (

14、1)|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ； (3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)， S△PF1F2取最大值，為bc； (4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)； (5)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大； (6)若焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心為I，延長PI交F1F2于點(diǎn)Q，則＝＝，所以＝＝＝(e為離心率)． 【變式訓(xùn)練3】　(1)如圖所示橢圓中，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，PF為直徑的圓與長軸為直徑的圓的關(guān)系為________． 答案　內(nèi)切 解析　設(shè)橢圓的方程為＋＝1(

15、a>b>0)，F(xiàn)、F′分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 作出以線段PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x2＋y2＝a2，如圖所示． 設(shè)PF中點(diǎn)為M，連接PF′， ∴OM是△PFF′的中位線，可得|OM|＝|PF′|，即兩圓的圓心距為|PF′| 根據(jù)橢圓定義，可得|PF|＋|PF′|＝2a， ∴圓心距|OM|＝|PF′|＝(2a－|PF|)＝a－|PF|， 即兩圓的圓心距等于它們的半徑之差， 因此，以PF為直徑的圓與以長軸為直徑的圓x2＋y2＝a2相內(nèi)切． (2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝______

16、__. 答案　3 解析　由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， 所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝2b2， 所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9. 所以b＝3. 考向　直線與橢圓的綜合問題 命題角度1　弦的中點(diǎn)問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4　[2018·南昌模擬]已知橢圓：＋x2＝1，過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線A

17、B的方程為(　　) A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0 答案　B 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓＋x2＝1上，所以兩式相減得＋x－x＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被點(diǎn)P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，將其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直線AB的斜率為－9，所以直線AB的方程為y－＝－9，即9x＋y－5＝0. 命題角度2　弦長問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5　[2018·陜西咸陽模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>

18、b>0)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率e＝. (1)求橢圓C的方程； (2)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求△PAB面積的最大值． 解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2. 又橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)P(2,1)， ∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2. 故所求橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立 整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 則|AB|＝× ＝. 點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝. ∴S△PAB＝

19、d|AB|＝××＝≤＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，即m＝±時(shí)取得最大值． 觸類旁通 直線與橢圓綜合問題的處理方法 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單． 核心規(guī)律 1.橢圓中的參數(shù)a，b，c三者的關(guān)系為a2－b2＝c2，這是橢圓中參數(shù)關(guān)系的核心． 2.求離心率常用兩種方法： (1)求得a，c的值，代入公式e＝即可； (2)列出a，b，c的方程或不等式，根據(jù)b2＝a2－c2將b消掉，轉(zhuǎn)化為含有a和c的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或

20、不等式． 滿分策略 1.判斷橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)方程形式中x2和y2的分母大?。? 2.關(guān)于離心率的范圍問題，一定不要忘記橢圓離心率的固有范圍0b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列 14——橢圓離心率范圍的求解技巧 [2018·衡中模擬]F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________． 解題視點(diǎn)

21、　將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，再借助于橢圓本身的屬性|x|≤a破解． 解析　解法一：設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，則＋＝1. ＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)， 若∠F1PF2＝90°，則·＝x＋y－c2＝0. ∴x＋b2＝c2，∴x＝. ∵0≤x≤a2，∴0≤≤1. ∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1. 解法二：如圖，由題意，∠F1PF2≥90°，∠OPF2≥45°， sin∠OPF2＝≥， ∴≤e<1. 答案　≤e<1 答題啟示　建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是

22、化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法. 跟蹤訓(xùn)練 已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部(不包括邊界)，則此橢圓離心率的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)橢圓＋＝1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，中心為O，橢圓上任意一點(diǎn)為M，過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|F1F2|為直徑的圓上，且該圓的半徑r＝|OP|＝|F1F2|＝c(其中c＝)，則由橢圓的性質(zhì)及題意可得r

23、的取值范圍是. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．[2016·湖北八校聯(lián)考]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知a＝3，b＝，c＝2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2， ∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝.故選B. 2．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C

24、.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c＝1，e＝＝?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此橢圓C的方程是＋＝1. 3．“－3b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為(　　) A．(－3,0)

25、 B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 答案　D 解析　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，∴圓心坐標(biāo)是(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．故選D. 5．[2018·黑龍江雙鴨山模擬]過橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)恰好為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)恰好為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，∴c＝，即ac＝a2－c2，∴e2＋e－1＝

26、0，∵0

27、1(舍去)， ∴b2的最小值為4， ∴①的最大值為，此時(shí)，a2＝b2＋1＝5， ∴離心率最大的橢圓方程是：＋＝1.故選C. 解法二：令直線x－y＋3＝0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，則2a＝|PF1|＋|PF2|， ∵e＝＝，∴當(dāng)|PF1|＋|PF2|最小時(shí)e最大，F(xiàn)1，F(xiàn)2在直線x－y＋3＝0的同側(cè)，F(xiàn)1關(guān)于x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)F1′(－3,2)，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1′|＋|PF2|≥|F1′F2|＝2，即2a≥2，a≥，當(dāng)a＝時(shí)e最大，此時(shí)b2＝a2－c2＝4，所求橢圓方程為＋＝1.故選C. 7．[2018·深圳檢測]若x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的

28、取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得＋＝1，因?yàn)閤2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以>2，解得0b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于________． 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)分別代入橢圓方程相減得＋＝0，根據(jù)題意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝. 9．已知橢圓C：＋

29、＝1(a>b>0)的離心率為e＝，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓上不同兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)分別與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率之積為－. (1)求橢圓C的方程； (2)求證：x＋x為定值，并求該定值． 解　(1)∵c＝，e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1， 則橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：由于·＝－，則x1x2＝－4y1y2，xx＝16yy. 而＋y＝1，＋y＝1，則1－＝y(tǒng)，1－＝y(tǒng)， ∴＝y(tǒng)y，則(4－x)(4－x)＝16yy， (4－x)(4－x)＝xx，展開得x＋x＝4為一定值． 10．[2018·山東模擬]已

30、知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x2＋y2＝1上． (1)求橢圓C的方程； (2)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0)，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試探討k為何值時(shí)，OA⊥OB. 解　(1)依題意b＝1，c＝1，所以a2＝2. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝k(x－2)． 由消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0. 而y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)， 所以x1x2＋k2(x1－2)(x

31、2－2)＝0， 即(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0， 所以－＋4k2＝0， 解得k2＝，此時(shí)Δ>0，所以k＝±. [B級(jí)　知能提升] 1．[2018·湖南郴州]設(shè)e是橢圓＋＝1的離心率，且e∈，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0,3) B. C．(0,3)∪ D．(0,2) 答案　C 解析　當(dāng)k>4時(shí)，c＝，由條件知<<1， 解得k>； 當(dāng)0

32、,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 答案　B 解析　由題意可知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)E(x，y)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，·有最小值7，當(dāng)x＝±3時(shí)，·有最大值8，故選B. 3.[2018·鼓樓期末]由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.由右橢圓＋＝1(x≥0)的焦點(diǎn)F0和左橢圓＋＝1(x≤0)的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2確定的△F0F1F2叫做果圓的焦點(diǎn)三角形，若果圓的

33、焦點(diǎn)三角形為銳角三角形，則右橢圓＋＝1(x≥0)的離心率的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　連接F0F1、F0F2， 根據(jù)“果圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，可得△F1F0F2是以F1F2為底邊的等腰三角形， ∵△F0F1F2是銳角三角形， ∴等腰△F0F1F2的頂角為銳角，即∠F1F0F2∈. 由此可得|OF0|>|OF1|， ∵|OF0|、|OF1|分別是橢圓＋＝1、＋＝1的半焦距， ∴c>，平方得c2>b2－c2， 又∵b2＝a2－c2，∴c2>a2－2c2，解得3c2>a2， 兩邊都除以a2，得3·2>1，解之得>. ∵右橢圓＋＝1

34、(x≥0)的離心率e＝∈(0,1)， ∴所求離心率e的范圍為.故選C. 4．[2017·北京高考]已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 解　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，－n)， 由題設(shè)知m≠±2，且n≠0. 直線AM的斜

35、率kAM＝， 故直線DE的斜率kDE＝－， 所以直線DE的方程為y＝－(x－m)， 直線BN的方程為y＝(x－2)． 聯(lián)立 解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－. 由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n. 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|， S△BDN＝|BD|·|n|， 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 5．已知過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C：＋y2＝1交于P，Q兩點(diǎn)． (1)若直線l的斜率為k，求k的取值范圍； (2)若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E(1,0)，求直線l的方程． 解　(1)依題意，直線l的方程為y＝kx＋2， 由消去y得

36、(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0， 令Δ＝(12k)2－36(3k2＋1)>0， 解得k>1或k<－1， 所以k的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0， 則P(0,1)，Q(0，－1)或P(0，－1)，Q(0,1)， 此時(shí)以PQ為直徑的圓過點(diǎn)E(1,0)，滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又E(1,0)， 所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)． 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(k2＋1)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5 ＝＋(2k－1)＋5 ＝. 因?yàn)橐訮Q為直徑的圓過點(diǎn)E(1,0)， 所以·＝0，即＝0， 解得k＝－，滿足Δ>0， 故直線l的方程為y＝－x＋2， 綜上，所求直線l的方程為x＝0或y＝－x＋2. 19