初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第十八講《加法原理與乘法原理》教案1 北師大版

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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第十八講加法原理與乘法原理教案1 北師大版加法原理和乘法原理是計數(shù)研究中最常用、也是最基本的兩個原理所謂計數(shù),就是數(shù)數(shù),把一些對象的具體數(shù)目數(shù)出來當(dāng)然,情況簡單時可以一個一個地數(shù)如果數(shù)目較大時,一個一個地數(shù)是不可行的,利用加法原理和乘法原理,可以幫助我們計數(shù)加法原理 完成一件工作有n種方式,用第1種方式完成有m1種方法,用第2種方式完成有m2種方法,用第n種方式完成有mn種方法,那么,完成這件工作總共有m1+m2+mn種方法例如,從A城到B城有三種交通工具:火車、汽車、飛機坐火車每天有2個班次;坐汽車每天有3個班次;乘飛機每天只有1個班次,那么,從A城到B城的方法共有2+3+

2、1=6種乘法原理 完成一件工作共需n個步驟:完成第1個步驟有m1種方法,完成第2個步驟有m2種方法,完成第n個步驟有mn種方法,那么,完成這一件工作共有m1m2mn種方法例如,從A城到B城中間必須經(jīng)過C城,從A城到C城共有3條路線(設(shè)為a,b,c),從C城到B城共有2條路線(設(shè)為m,t),那么,從A城到B城共有32=6條路線,它們是:am,at,bm,bt,cm,ct下面我們通過一些例子來說明這兩個原理在計數(shù)中的應(yīng)用例1 利用數(shù)字1,2,3,4,5共可組成(1)多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)?(2)多少個數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)?(3)多少個數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)?解(1)百位數(shù)有5種選擇;十位數(shù)有4種選擇;

3、個位數(shù)有3種選擇所以共有5403=60個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)(2)先選個位數(shù),共有兩種選擇:2或4在個位數(shù)選定后,十位數(shù)還有4種選擇;百位數(shù)有3種選擇所以共有243=24個數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)(3)分為5種情況:一位偶數(shù),只有兩個:2和4二位偶數(shù),共有8個:12,32,42,52,14,24,34,54三位偶數(shù)由上述(2)中求得為24個四位偶數(shù)共有2(432)=48個括號外面的2表示個位數(shù)有2種選擇(2或4)五位偶數(shù)共有2(4321)=48個由加法原理,偶數(shù)的個數(shù)共有2+8+24+48+48=130例2 從1到300的自然數(shù)中,完全不含有數(shù)字3的有多少個?解法1 將符合要求的自然數(shù)分為以下三類:

4、(1)一位數(shù),有1,2,4,5,6,7,8,9共8個(2)二位數(shù),在十位上出現(xiàn)的數(shù)字有1,2,4,5,6,7,8,98種情形,在個位上出現(xiàn)的數(shù)字除以上八個數(shù)字外還有0,共9種情形,故二位數(shù)有89=72個(3)三位數(shù),在百位上出現(xiàn)的數(shù)字有1,2兩種情形,在十位、個位上出現(xiàn)的數(shù)字則有0,1,2,4,5,6,7,8,9九種情形,故三位數(shù)有299=162個因此,從1到300的自然數(shù)中完全不含數(shù)字3的共有8+72+162=242個解法2 將0到299的整數(shù)都看成三位數(shù),其中數(shù)字3不出現(xiàn)的,百位數(shù)字可以是0,1或2三種情況十位數(shù)字與個位數(shù)字均有九種,因此除去0共有399-1=242(個)例3 在小于100

5、00的自然數(shù)中,含有數(shù)字1的數(shù)有多少個?解 不妨將1至9999的自然數(shù)均看作四位數(shù),凡位數(shù)不到四位的自然數(shù)在前面補0使之成為四位數(shù)先求不含數(shù)字1的這樣的四位數(shù)共有幾個,即有0,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)字所組成的四位數(shù)的個數(shù)由于每一位都可有9種寫法,所以,根據(jù)乘法原理,由這九個數(shù)字組成的四位數(shù)個數(shù)為99996561,其中包括了一個0000,它不是自然數(shù),所以比10000小的不含數(shù)字1的自然數(shù)的個數(shù)是6560,于是,小于10000且含有數(shù)字1的自然數(shù)共有9999-6560=3439個例4 求正整數(shù)1400的正因數(shù)的個數(shù)解 因為任何一個正整數(shù)的任何一個正因數(shù)(除1外)都是這個數(shù)的一些質(zhì)

6、因數(shù)的積,因此,我們先把1400分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積1400=23527所以這個數(shù)的任何一個正因數(shù)都是由2,5,7中的n個相乘而得到(有的可重復(fù))于是取1400的一個正因數(shù),這件事情是分如下三個步驟完成的:(1)取23的正因數(shù)是20,21,22,33,共3+1種;(2)取52的正因數(shù)是50,51,52,共2+1種;(3)取7的正因數(shù)是70,71,共1+1種所以1400的正因數(shù)個數(shù)為(3+1)(2+1)(1+1)=24說明 利用本題的方法,可得如下結(jié)果:若pi是質(zhì)數(shù),ai是正整數(shù)(i=1,2,r),則數(shù)的不同的正因數(shù)的個數(shù)是(a1+1)(a2+1)(ar+1)例5 求五位數(shù)中至少出現(xiàn)一個6,而被

7、3整除的數(shù)的個數(shù)+a5能被3整除,于是分別討論如下:(1)從左向右計,如果最后一個6出現(xiàn)在第5位,即a5=6,那么a2,a3,a4可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字之一,但a1不能是任意的,它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余數(shù)所決定因此,為了保證a1+a2+a3+a4+a5能被3整除,a1只有3種可能,根據(jù)乘法原理,5位數(shù)中最后一位是6,而被3整除的數(shù)有3101010=3000(個)(2)最后一個6出現(xiàn)在第四位,即a4=6,于是a5只有9種可能(因為a5不能等于6),a2,a3各有10種可能,為了保證a1+a2+a3+a4+a5被3整除,a1有3種可能根據(jù)乘法原理,屬

8、于這一類的5位數(shù)有310109=2700(個)(3)最后一個6出現(xiàn)在第3位,即a3=6,被3整除的數(shù)應(yīng)有31099=2430(個)(4)最后一個6出現(xiàn)在第2位,即a2=6,被3整除的數(shù)應(yīng)有3999=2187(個)(5)a1=6,被3整除的數(shù)應(yīng)有3999=2187(個) 根據(jù)加法原理,5位數(shù)中至少出現(xiàn)一個6而被3整除的數(shù)應(yīng)有3000+2700+2430+2187+2187=12504(個)例6 如圖163,A,B,C,D,E五個區(qū)域分別用紅、藍(lán)、黃、白、綠五種顏色中的某一種著色如果使相鄰的區(qū)域著不同的顏色,問有多少種不同的著色方式?解 對這五個區(qū)域,我們分五步依次給予著色:(1)區(qū)域A共有5種著

9、色方式;(2)區(qū)域B因不能與區(qū)域A同色,故共有4種著色方式;(3)區(qū)域C因不能與區(qū)域A,B同色,故共有3種著色方式;(4)區(qū)域D因不能與區(qū)域A,C同色,故共有3種著色方式;(5)區(qū)域E因不能與區(qū)域A,C,D同色,故共有2種著色方式于是,根據(jù)乘法原理共有54332=360種不同的著色方式例7 在66的棋盤上剪下一個由四個小方格組成的凸字形,如圖164,有多少種不同的剪法?解 我們把凸字形上面那個小方格稱為它的頭,每個凸字形有并且只有一個頭凸字形可以分為兩類:第一類凸字形的頭在棋盤的邊框,但是棋盤的四個角是不能充當(dāng)凸字形的頭的于是,邊框上(不是角)的小方格共有44=16個,每一個都是一個凸字形的頭

10、,所以,這類凸字形有16個第二類凸字形的頭在棋盤的內(nèi)部,棋盤內(nèi)部的每一個小方格可以作為4個凸字形的頭(即頭朝上,頭朝下,頭朝左,頭朝右),所以,這類凸字形有4(44)=64(個)由加法原理知,有16+64=80種不同的凸字形剪法練習(xí)十八1把數(shù)、理、化、語、英5本參考書,排成一行放在書架上(1)化學(xué)不放在第1位,共有多少種不同排法?(2)語文與數(shù)學(xué)必須相鄰,共有多少種不同排法?(3)物理與化學(xué)不得相鄰,共有多少種不同排法?(4)文科書與理科書交叉排放,共有多少種不同排法?2在一個圓周上有10個點,把它們兩兩相連,問共有多少條不同的線段?3用1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù),(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)?(2)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù),但1不在百位上?4從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中任取三個數(shù)組成一個三位數(shù),問共可得到多少個不同的三位數(shù)?5由1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字能組成多少個大于34500的五位數(shù)?6今有一角幣一張,兩角幣一張,伍角幣一張,一元幣四張,伍元幣兩張,用這些紙幣任意付款,可以付出不同數(shù)額的款子共有多少種?7將三封信投到5個郵筒中的某幾個中去,有多少種不同的投法?8從字母a,a,a,b,c,d,e中任選3個排成一行,共有多少種不同的排法?

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