（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 解三角形的應用舉例學案

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1、 第7講　解三角形的應用舉例 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 考點2　方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． 考點3　方向角 指北或指南方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏東α，南偏西α.特別地，若目標方向線與指北或指南方向線成45°角稱為西南方向，東北方向等． (1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；

2、(3)南偏西等其他方向角類似． 考點4　坡角與坡度 1．坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)． 2．坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． [必會結(jié)論] 1．仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的． 2．“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍是. [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系．(　　) (2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，

3、則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　) (3)若點P在Q的北偏東44°，則Q在P的東偏北46°.(　　) (4)如果在測量中，某渠道斜坡坡比為，設α為坡角，那么cosα＝.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．[課本改編]兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東10° D．南偏西10° 答案　B 解析　由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如圖．故選B. 3.[2018·沈陽模擬]如圖，設A，B兩點在河的兩岸

4、，測量者在A的同側(cè)，選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)． 4.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB等于(　　) A. B. C.a D. 答案　B 解析　因為∠D＝30°，∠ACB＝60°， 所以∠CAD＝30°，故CA＝CD＝a. 所以AB＝asin60°＝. 5．一個大型噴水池的中央

5、有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m. 答案　50 解析　設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h， 根據(jù)余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　測量距離問題 例　1　如圖所示，為了測量

6、河對岸A，B兩點間的距離，在岸邊定一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，試求AB的長． 解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°， ∠ADC＝60°，所以AC＝a.① 在△BCD中，由正弦定理可得 BC＝＝a.② 在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為AB＝＝a. 觸類旁通 求距離問題的注意事項 (1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解． (

7、2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理． 【變式訓練1】　[2014·四川高考]如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73) 答案　60 解析　根據(jù)已知的圖形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)． 考向　測量高度問題

8、 例　2　[2015·湖北高考]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m. 答案　100 解析　如圖所示，由已知得∠BAC＝30°，AB＝600 m，∠EBC＝75°，∠CBD＝30°， 在△ABC中，∠ACB＝∠EBC－∠BAC＝45°， 由＝， 得BC＝＝＝300(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan∠CBD＝300×＝100(m)． 觸類旁通 處理高度問題的注意事項 (1)在處理有關(guān)高度

9、問題時，正確理解仰角、俯角是一個關(guān)鍵． (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題． 【變式訓練2】　某人在C點測得塔底O在南偏西80°，塔頂A的仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D處，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．12米 答案　C 解析　如圖，設塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠AD

10、O＝30°，則OD＝h. 在△OCD中，∠OCD＝120°， CD＝10，OD2＝ OC2＋ CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°， 所以h2－5h－50＝0，解得h＝10 或h＝－5(舍去)， 故選C. 考向　測量角度問題 例　3　在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察

11、艇所需的時間和角α的正弦值． 解　如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根據(jù)余弦定理得 (14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理，得＝， 解得sinα＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為. 觸類旁通 解決測量角度問題的注意事項 (1)首先應明確方位角或方向角的含義． (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步． (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后

12、，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用． 【變式訓練3】　如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值． 解　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20. 由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°

13、，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝. 核心規(guī)律 利用解三角形解決實際問題時，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義． 滿分策略 1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混． 2.在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯. 板塊三　

14、啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學思想系列5——函數(shù)思想在解三角形中的應用 [2018·永州模擬]某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？ (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由． 解題視點　(1)利用三角形中的

15、余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍． 解　(1)設相遇時小艇航行的距離為s海里，則s＝ ＝＝. 故當t＝時，smin＝10，v＝＝30(海里/小時)． 即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。? (2)設小艇與輪船在B處相遇．則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 故v2＝900－＋.∵0

16、 故可設計航行方案如下： 航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時． 答題啟示　解三角形在實際中的應用問題有很多是求距離最短、用時最少、速度最大等最值問題，這需要建立有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，通過求函數(shù)最值的方法來解決.函數(shù)思想在解三角形實際問題中的應用，經(jīng)常與正弦定理、余弦定理相結(jié)合，此類問題綜合性較強，能力要求較高，要有一定的分析問題、解決問題的能力. 跟蹤訓練 [2018·鄭州模擬]如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50 km/h的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車的行駛方向)．汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5 km，距離公路線的垂直距離為3 km

17、的M點，有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，并求追上汽車司機時他駕駛摩托車行駛了多少公里？ 解　作MI垂直公路所在的直線于點I，則MI＝3, ∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝. 設騎摩托車的人的速度為v km/h，追上汽車的時間為t h，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×， v2＝－＋2500＝252＋900≥900， ∴當t＝時，v的最小值為30 km/h，其行駛距離為vt＝＝ km. 故騎摩托車的人至少以30 km/h的速度行駛才能實現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了 km.

18、 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 答案　D 解析　如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700， ∴AC＝10(km)． 2．[2018·武漢模擬]海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝(　　) A．10 n mile B. n mi

19、le C．5 n mile D．5 n mile 答案　D 解析　由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5. 3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km C.a km D．2a km 答案　B 解析　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝a. 4．[2018·臨沂質(zhì)

20、檢]在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底俯角分別為30°、60°，則塔高為(　　) A. m B. m C. m D. m 答案　A 解析　如圖，由已知可得∠BAC＝30°， ∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°， 又AB＝200，∴AC＝. 在△ACD中，由正弦定理，得 ＝，即DC＝＝(m)． 5.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為(　　)

21、 A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 答案　B 解析　設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sinθ＝＝，從而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6. 6.如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長________m. 答案　100 解析　設坡底需加長x m，由正弦定理得＝，解得x＝100. 7.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：

22、km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補，則AC的長為________km. 答案　7 解析　∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，∴cosD＝－.∴AC＝＝7(km)． 8.[2018·河南調(diào)研]如圖，在山底A點處測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為________米． 答案　1000 解析　由題圖知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴

23、AB＝1000，∴BC＝＝1000(米)． 9.[2018·山西監(jiān)測]如圖，點A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測站CD，點D在頂端． (1)原計劃CD為鉛垂線方向，α＝45°，求CD的長； (2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測得β＝30°，α＝53°，求CD2.(結(jié)果精確到1) (本題參考數(shù)據(jù)：sin97°≈1，cos53°≈0.6) 解　(1)∵CD為鉛垂線方向，點D在頂端，∴CD⊥AB. 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4. (2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝ 4＋6＝10，∴∠ADB＝

24、180°－83°＝97°， ∴由＝得AD＝＝＝≈5. 在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17. 10.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間． 解　設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝ 10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定

25、理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos120°＝6， 解得BC＝. 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，故B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛． 又在△BCD中，∠CBD＝ 120°，∠BCD＝30°， ∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，解得t＝小時≈15分鐘． ∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．

26、 [B級　知能提升] 1．[2018·天津模擬]一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 答案　A 解析　如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 2.某觀察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出發(fā)的一條公路的走向是南偏東25°.現(xiàn)在B

27、處測得此公路上距B處30 km的C處有一人正沿此公路騎車以40 km/h的速度向A城駛?cè)ィ旭偭?5 min后到達D處，此時測得B與D之間的距離為8 km，則此人到達A城還需要(　　) A．40 min B．42 min C．48 min D．60 min 答案　C 解析　由題意可知，CD＝40×＝10. cos∠BDC＝＝－， ∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝， ∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴＝， ∴AD＝32，∴所需時間t＝＝0.8 h， ∴此人還需要0.8 h即48 min到達A城．

28、 3.[2014·全國卷Ⅰ]如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，則山高MN＝________m. 答案　150 解析　在Rt△ABC中，AC＝100 m，在△MAC中，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在Rt△MNA中，MN＝MA·sin60°＝150 m. 即山高MN為150 m. 4.如圖所示，A，C兩島之間有一片暗礁．一艘小船于某日上午8時從A島出發(fā)，以10海里/小時的速度沿北偏東75°方向直線航行，下午1時到

29、達B處．然后以同樣的速度沿北偏東15°方向直線航行，下午4時到達C島． (1)求A，C兩島之間的距離； (2)求∠BAC的正弦值． 解　(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， 由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70(海里)． 故A，C兩島之間的距離是70海里． (2)在△ABC中，由正弦定理，得＝， sin∠BAC＝＝＝.故∠BAC的正弦值是. 5．某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪

30、在方位角為45°，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間. 解　如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120°，設艦艇靠近漁輪所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以艦艇靠近漁輪所需的時間為 h. 此時AB＝14，BC＝6. 在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得＝， 所以sin∠CAB＝＝， 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)， 即艦艇航行的方位角為45°＋21.8°＝66.8°. 所以艦艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近漁輪． 19