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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-3-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案
（一）教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能：
（1）通過對(duì)雙曲線圖形的研究，讓學(xué)生熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性、范圍、頂點(diǎn)、離心率）以及離心率的大小對(duì)雙曲線形狀的影響，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想。
（2）熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相應(yīng)的問題。
（3）理解等軸雙曲線的特點(diǎn)與性質(zhì)
2.過程與方法：通過講解雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，理解并會(huì)用雙曲線的相關(guān)性質(zhì)解決問題。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
（1）學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；
（2）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和
2、邏輯思維能力。
（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運(yùn)用曲線方程研究幾何性質(zhì)
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運(yùn)用曲線方程研究幾何性質(zhì)
（三）教學(xué)過程
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘）
問題1：前面兩節(jié)課，說一說所學(xué)習(xí)過的內(nèi)容？
1、 雙曲線的定義？
2、 兩種不同雙曲線方程的對(duì)比？
問題2：類比橢圓幾何性質(zhì)，觀察雙曲線（a>0,>b>0）的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？雙曲線上哪些點(diǎn)比較特殊？
點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”
活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知，（20分鐘）
1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
①范圍：
3、，或；
由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，，進(jìn)一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；
②對(duì)稱性：關(guān)于以軸和軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；
由以代，以代和代，且以代這三個(gè)方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；
③頂點(diǎn)：實(shí)頂點(diǎn)：為，；實(shí)軸為||=；實(shí)半軸長為
虛頂點(diǎn)為，；虛軸為||=；虛半軸長為
圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對(duì)稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)．因此雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，由于雙曲線的對(duì)稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對(duì)稱軸叫做虛軸；
④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；
直線叫做雙曲線的
4、漸近線；
問題3：雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x,y的變化趨勢(shì)看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？
⑤離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率（）．
問題4：當(dāng)時(shí)，雙曲線方程有什么變化？漸近線？離心率？
2、等軸雙曲線：當(dāng)時(shí)，雙曲線為叫等軸雙曲線，漸近線為，離心率
問題5：書本P58頁思考？
例3： 求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．
分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是．
練習(xí)：書本P61頁練習(xí)1
5、擴(kuò)展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率．
解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，無解；②焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率．這個(gè)要進(jìn)行分類討論，但只有一種情形有解，事實(shí)上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為．
練習(xí)：書本P61頁練習(xí)3
活動(dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知（18分鐘）
例4：雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）．
解法剖析：建立適
6、當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．
引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場(chǎng)中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場(chǎng)上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說明理由．
解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點(diǎn)，則，即
（定值），∴“等距離”線是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略．
練習(xí)：書本P61頁練習(xí)2
例5:如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程．
分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離
，則容易得點(diǎn)的軌跡方程．
解:設(shè)是點(diǎn)M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|}, 即
所以，點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線
例6：如圖，過雙曲線 的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求。
練習(xí)：書本P61頁練習(xí)5
活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí)（2分鐘）
1． 說說本節(jié)課學(xué)習(xí)了雙曲線的那些題型？
活動(dòng)五：作業(yè)布置、提高鞏固
1．書面作業(yè)：書本P61B組1、3、4 書本P61 A組3、4、5
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-3-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 教案
