高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測試 新人教A版選修2-1

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1、高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測試 新人教A版選修2-1 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A. B．2 C. D. 解析：由題可知||＝1，||＝1，||＝.〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°. ∴||2＝(－＋)2＝＋＋－·＋·－· ＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝. 答案：D 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體

2、的棱長為1， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)． ∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)． 設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0. ∴令x＝1，則n＝(1，－1，－1)， 圖3 ∴cos〈n，〉＝＝＝. ∴直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值為. ∴直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為. 答案：C 11．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1,3) B ．(1,

3、3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 圖4 解析：由題意知在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|＝2|PF2|，如圖4. 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a， 即在雙曲線右支上恒存在點(diǎn)P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a. ∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a. 又∵c>a，∴a

4、π D．13π 圖5 解析：由圓M的面積知圓M的半徑為2，|OM|＝＝2.|ON|＝|OM|·sin30°＝.從而圓N的半徑r＝＝，所以圓N的面積S＝πr2＝13π.故選D. 答案：D 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(每小題5分，共20分) 圖6 13．在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示) 解析：＝(＋)＝＋(＋) ＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 14．若命題p：一元一次不等式ax＋b>0的解集為{x|x>－}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集為{

5、x|a

6、x<0”是“2x2－5x－3<0”的必要不充分條件；③若a與b共線，則a，b所在直線平行；④若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量一定也共面；⑤?x∈R，x2－3x＋3≠0.其中正確的命題有________．(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填在橫線上) 解析：①中，雙曲線c＝25＋9＝34，橢圓c＝35－1＝34，故①正確； ②中，∵2x2－5x－3<0，∴－

7、； ⑤中，Δ＝9－12<0，故對(duì)?x∈R，x2－3x＋3≠0成立． 答案：①⑤ 三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共70分) 17．(10分)已知p：“直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一負(fù)根”．若p∨q為真，綈p為真，求m的取值范圍． 解：對(duì)p：∵直線與圓相交， ∴d＝<1.∴－＋1

8、m<4. 18．(12分)已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－m)2＝9(m∈R)，雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切．當(dāng)m＝5時(shí)，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D：＋＝1的兩焦點(diǎn)為F1(－5,0)、F2(5,0)，故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)，則G的漸近線方程為y＝±x， 即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.當(dāng)m＝5時(shí)，圓心為(0,5)，半徑為r＝3. ∴＝3?a＝3，b＝4. ∴雙曲線G的方程為－＝1. 19．(12分)已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面體， (1)化簡＋＋，并在圖

9、中標(biāo)出其結(jié)果； (2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對(duì)角線BC′上的分點(diǎn)，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α，β，γ的值． 圖8 解：(1)如圖8，取AA′的中點(diǎn)E，D′F＝2FC′，＝＋＋. (2)＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋， ∴α＝，β＝，γ＝. 20．(12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)(－1,0)，是否存在常數(shù)a、b、c，使不等式x≤f(x)≤對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立？ 解：假設(shè)存在常數(shù)a、b、c使不等式x≤f(x)≤對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立， ∵f(x)的圖象過點(diǎn)(－1,0)， ∴a－b＋c＝0.① ∵x≤f(x)≤對(duì)一切x∈R均成立， ∴

10、當(dāng)x＝1時(shí)，也成立，即1≤f(1)≤1， ∴f(1)＝a＋b＋c＝1，② 由①②得b＝，故原不等式可化為 恒成立． 當(dāng)a＝0或1－2a＝0時(shí)，上述不等式組不會(huì)恒成立， ∴即 ∴a＝.∴c＝－a＝. ∴存在一組常數(shù)：a＝，b＝，c＝，使不等式x≤f(x)≤對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立． 圖9 21．(12分)(2011·遼寧高考)如圖9，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q－BP－C的余弦值． 圖10 解：如圖10，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立

11、空間直角坐標(biāo)系D－xyz. (1)證明：依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以·＝0，·＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQDC， 所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，則 即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 設(shè)m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)， 所以cos〈m，n〉＝－. 故二面角Q－BP－C的余弦值為－.

12、22．(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，由已知得：a＋c＝3，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4

13、k2)(m2－3)>0， 即3＋4k2－m2>0，則 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， ∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0)， ∴kAD·kBD＝－1，即·＝－1. ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0. ∴＋＋＋4＝0. ∴7m2＋16mk＋4k2＝0. 解得m1＝－2k，m2＝－，且均滿足3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾． 當(dāng)m2＝－k時(shí)，l的方程為y＝k(x－)， 直線過定點(diǎn)(，0)． ∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．