（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6講 雙曲線學(xué)案

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1、 第6講　雙曲線 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　雙曲線的概念 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c>0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0： (1)當(dāng)ac時，P點不存在． 考點2　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) [必會結(jié)論] 雙曲線中的幾

2、個常用結(jié)論 (1)焦點到漸近線的距離為b. (2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線． (3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)． (4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為. (5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構(gòu)成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|. (6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝. [考點自測]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到兩點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離之差等于1的點的軌跡

3、是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　) (3)與雙曲線－＝1(mn>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)．(　　) (4)等軸雙曲線的離心率等于，且漸近線互相垂直．(　　) (5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．[課本改編]雙曲線y2－x2＝2的漸近線方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案　A 解析　由題意知－

4、＝1，y＝±x. 3．[2018·廣東模擬]已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由題意設(shè)C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由右焦點為F(3,0)，可知c＝3，又因為離心率等于，所以＝，所以a＝2.由c2＝a2＋b2，知b2＝5，故雙曲線C的方程為－＝1.故選B. 4．[2018·福州質(zhì)檢]設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．3或7 答案　D 解析　∵

5、||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3. 5．[2017·北京高考]若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________. 答案　2 解析　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a＝1，b2＝m，c＝， 故雙曲線的離心率e＝＝＝， ∴1＋m＝3，解得m＝2. 6．[2017·全國卷Ⅲ]雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 答案　5 解析　∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程　 　　　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)[2017·天津高考]已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由題意可得＝，即c＝a. 又左焦點F(－c,0)，P(0,4)， 則直線PF的方程為＝， 化簡即得y＝x＋4.結(jié)合已知條件和圖象易知直線PF與y＝x平行， 則＝，即4a＝bc. 故解得 故雙曲線方程為－＝1.故選B. (2)[2017·全國卷Ⅲ]已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條

7、漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1　　 D.－＝1 答案　B 解析　由y＝x可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1.故選B. 觸類旁通 (1)若涉及雙曲線上的點，在解題時要首先想到雙曲線上的任意點均滿足雙曲線的定義． (2)利用求待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線－＝1，有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程

8、為－＝λ(λ≠0)． 【變式訓(xùn)練1】　(1)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由已知可得雙曲線的焦距2c＝10，a2＋b2＝25，排除C，D，又由漸近線方程為y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5. (2)求與雙曲線－＝1有共同漸近線，并且經(jīng)過點(－3,2)的雙曲線的方程． 解　設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ，將點(－3,2)代入雙曲線方程，得－＝λ，解得λ＝， ∴所求雙曲線方程為－＝1. 考向　雙曲線的幾何性質(zhì) 命題角度1　雙曲線的離心率問題　 　　　

9、　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　(1)[2017·全國卷Ⅱ]若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) 答案　C 解析　由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴10，b>0)．若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________． 答案　2 解析　由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|

10、＝|F1F2|＝2c. 因為2|AB|＝3|BC|，所以＝6c， 又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0， 解得e＝2，或e＝－(舍去)． 命題角度2　雙曲線的漸近線問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　(1)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　∵e＝，∴＝，即＝. ∵c2＝a2＋b2，∴＝，∴＝. ∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴漸近線方程為y＝±x.故選C. (2)[2018·深圳調(diào)研]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲

11、線的中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方程為x－2y＝0，則它的離心率為(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　依題意設(shè)雙曲線的方程是－＝1(其中a>0，b>0)，則其漸近線方程是y＝±x，由題知＝，即b＝2a，因此其離心率e＝＝＝. 觸類旁通 與雙曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題 (1)雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線－＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±滿足關(guān)系式e2＝1＋k2. (2)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方

12、程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍． 【變式訓(xùn)練2】　(1)若雙曲線C：－＝1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的一個交點為M，且sin∠MF1F2＝，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 答案　D 解析　由題意知，∠F1MF2＝，不妨設(shè)點M在第一象限，則解得 又|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即16a2＋4a2＝4c2，所以e＝＝.故選D. (2)已知雙曲線－＝1的兩條漸近線與以橢圓＋＝1的左焦點為圓心、為半徑的圓相切，則漸近線方程為________． 答案　4x±3y＝0 解析　雙曲線的漸近線方程為

13、ax±3y＝0，橢圓的左焦點為F(－4,0)，因為漸近線ax＋3y＝0與以F為圓心、為半徑的圓相切，所以＝，解得a＝±4，故漸近線方程為4x±3y＝0. 考向　雙曲線中焦點三角形　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4　(1)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－y2＝1的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　A 解析　解法一：設(shè)|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 由雙曲線的定義可知|d1－d2|＝4.又∠F1PF2＝90°， 于是有d＋d＝|F1F2|2＝20， 因此，S△F1PF2＝d1d2

14、＝(d＋d－|d1－d2|2)＝1. 解法二：由－y2＝1，知|F1F2|＝2. 設(shè)P點的縱坐標(biāo)為yP，由于∠F1PF2＝90°，則P在以|F1F2|為直徑的圓上，即在x2＋y2＝5上． 由消去x得|yP|＝. 故△F1PF2的面積S＝|F1F2|·|yP|＝1. (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，P點在C上，∠F1PF2＝60°，則P到x軸的距離為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨設(shè)m>n，P(x，y)，|PF1|－|PF2|＝m－n＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理得 (2)2＝m2

15、＋n2－2mncos60°， ∴8＝(m－n)2＋mn.∴mn＝4. 由△F1PF2的面積相等，得 ×2×|y|＝mnsin60°，即|y|＝×4×. ∴|y|＝. 即P到x軸的距離為. 觸類旁通 【變式訓(xùn)練3】　(1)[2018·哈爾濱質(zhì)檢]已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點．若|PF1|＝|PF2|，則 △F1PF2的面積為(　　) A．48 B．24 C．12 D．6 答案　B 解析　由雙曲線的定義可得 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由

16、勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形， 因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24. (2)[2016·全國卷Ⅰ]已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 答案　A 解析　解法一：由題意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c為半焦距， ∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1. ∵方程－＝1表示雙曲線， ∴(m2＋n)·(3m2－n)>0， ∴－m2

17、 或?、? 由①得m2＝1，n∈(－1,3)．②無解．故選A. 考向　直線與雙曲線的綜合問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5　直線l：y＝(x－2)和雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，且|AB|＝，又l關(guān)于直線l1：y＝x對稱的直線l2與x軸平行． (1)求雙曲線C的離心率e； (2)求雙曲線C的方程． 解　(1)設(shè)雙曲線C：－＝1過第一、三象限的漸近線l1：－＝0的傾斜角為α. 因為l和l2關(guān)于l1對稱，記它們的交點為P，l與x軸的交點為M. 而l2與x軸平行，記l2與y軸的交點為Q. 依題意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α. 又l：y＝

18、(x－2)的傾斜角為60°，則2α＝60°， 所以tan30°＝＝. 于是e2＝＝1＋＝1＋＝， 所以e＝. (2)由于＝，于是設(shè)雙曲線方程為－＝1(k≠0)， 即x2－3y2＝3k2. 將y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中， 得x2－3×3(x－2)2＝3k2. 化簡得到8x2－36x＋36＋3k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝|x1－x2| ＝2 ＝2× ＝＝. 解得k2＝1. 故所求雙曲線C的方程為－y2＝1. 觸類旁通 求解雙曲線綜合問題的主要方法 雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系．解決這類問題的常用方

19、法是：(1)設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．(2)利用點差法． 【變式訓(xùn)練4】　設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同點A，B. (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，?。剑骯的值． 解　(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 所以解得0且e≠，即e∈∪(，＋∞)． (2)設(shè)A(x1，y1)

20、，B(x2，y2)，P(0,1)， 因為＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)， 由此得x1＝x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的兩根，且1－a2≠0，所以x1＋x2＝x2＝－， x1x2＝x＝－， 消去x2得－＝，由a>0，解得a＝. 核心規(guī)律 1.當(dāng)已知雙曲線的焦點不明確而又無法確定時，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為＋＝1(mn<0)，這樣可避免討論和復(fù)雜的計算；也可設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB<0)，這種形式在解題時更簡便． 2.與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)． 3.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙

21、曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程－＝0就是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程． 滿分策略 1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式的區(qū)分要結(jié)合x2，y2前系數(shù)的正負(fù)． 2.關(guān)于雙曲線中離心率范圍問題，不要忘記雙曲線離心率固有范圍e>1. 3.雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x. 4.若利用弦長公式計算，在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況． 5.當(dāng)直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，

22、當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列 15——函數(shù)方程數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用 (1)[2015·全國卷Ⅰ]已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當(dāng)△APF周長最小時，該三角形的面積為________． 解題視點　利用雙曲線定義尋求△APF周長最小時P點位置． 解析　設(shè)F1為雙曲線的左焦點，由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F(xiàn)1(－3,0)．當(dāng)點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長為|AP|＋|PF|＋

23、|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因為|AF|＝＝15為定值，所以當(dāng)|AP|＋|PF1|最小時，△APF的周長最小，由圖象可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)．由題意可知直線AF1的方程為y＝2x＋6，由 得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12. 答案　12 (2)已知雙曲線－＝1，其中a>1，求e的取值范圍． 解題視點　帶參量的雙曲線問題，需尋找e與參量的依存關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系，e的范圍由e＝f(a)來確定． 解　e2＝＝＝1＋2， ∵a>1，∴1＋0<1＋<1＋1

24、， ∴1<2<4，即20，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為________． 答案　2＋ 解析　不妨設(shè)過右焦點與漸近線平行的直線為y＝(x－c)，與C交于P(x0，y0)． ∵x0＝2a

25、，∴y0＝(2a－c)． 又P(x0，y0)在雙曲線C上，∴－＝1， ∴整理得a2－4ac＋c2＝0，設(shè)雙曲線C的離心率為e， 則1－4e＋e2＝0.∴e1＝2－(舍去)，e2＝2＋， 即雙曲線C的離心率為2＋. 板塊四　模擬演練·提能增分 　 　　　　　　　　[A級　基礎(chǔ)達標(biāo)] 1．[2018·安徽模擬]下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．y2－＝1 D.－x2＝1 答案　D 解析　由題意，選項A，B的焦點在x軸，故排除A，B；D項的漸近線方程為－x2＝0，即y＝±2x. 2．[2018·湖北模擬

26、]若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知可得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，點(3，－4)在漸近線上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故選D. 3．[2017·全國卷Ⅰ]已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，所以F(2,0)． 因為PF⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)． 因為P是C上一點，

27、所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故選D. 4．[2018·廣東模擬]已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　因為雙曲線C的右焦點為F2(5,0)，所以c＝5.因為離心率e＝＝，所以a＝4. 又a2＋b2＝c2，所以b2＝9. 故雙曲線C的方程為－＝1. 5．P為雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上的一點，且|PF1|＝2|

28、PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案　B 解析　如圖，由題意可知 ∴10，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過點F2作與x軸垂直的直線與雙曲線一個交點為P，且∠PF1F2＝，則雙曲線的漸近線方程為________． 答案　y＝±x 解析　根據(jù)已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 7．[2018·海口調(diào)研]已知

29、點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2為等腰三角形，則雙曲線的離心率為________． 答案　2 解析　∵|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，∵△PF1F2為等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，∴＝2. 8．[2016·北京高考]雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 答案　2 解析　由OA，OC所在

30、直線為漸近線，且OA⊥OC，知兩條漸近線的夾角為90°，從而雙曲線為等軸雙曲線，則其方程為x2－y2＝a2.OB是正方形的對角線，且點B是雙曲線的焦點，則c＝2，根據(jù)c2＝2a2可得a＝2. 9．設(shè)A，B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標(biāo)． 解　(1)由題意知a＝2， 又∵一條漸近線為y＝x，即bx－ay＝0. ∴由焦點到漸近線的距離為，得＝. ∴b2＝3，∴雙曲線的方程為－＝1. (

31、2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 將直線方程y＝x－2代入雙曲線方程－＝1得x2－16x＋84＝0， 則x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. ∴∴ ∴t＝4，點D的坐標(biāo)為(4，3)． 10．[2018·廣西模擬]已知雙曲線方程2x2－y2＝2. (1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程； (2)求過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1，Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由． 解　(1)由2·22－12

32、＝7>2可知點A在雙曲線內(nèi)部(含焦點的區(qū)域內(nèi))，設(shè)以A(2,1)為中點的弦兩端點分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由對稱性知x1≠x2. ∵P1、P2在雙曲線上， ∴兩式相減得 2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.∴＝4. 所求中點弦所在直線方程為 y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0. (2)由2·12－12＝1<2知B(1,1)在雙曲線的外部(雙曲線兩支之間)． 可假定直線l存在，采用(1)的方法求出l的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 聯(lián)

33、立方程組消y，得2x2－4x＋3＝0. ∵Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，無實根，因此直線l與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線l不存在． [B級　知能提升] 1．[2017·天津高考]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　根據(jù)題意畫出草圖如圖所示. 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點A在雙曲線的漸近線y＝x上， ∴＝tan60°＝

34、. 又a2＋b2＝4， ∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1.故選D. 2．已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為M(－12，－15)，則E的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由已知易得l的斜率為k＝kFM＝1.設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得＝，從而＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故選B. 3．[2018·武漢模擬]過

35、雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F的直線與雙曲線相交于A，B兩點，當(dāng)AB⊥x軸，稱|AB|為雙曲線的通徑．若過焦點F的所有焦點弦AB中，其長度的最小值為，則此雙曲線的離心率的范圍為(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 答案　B 解析　當(dāng)經(jīng)過焦點F的直線與雙曲線的交點在同一支上， 可得雙曲線的通徑最小，令x＝c，可得y＝±b＝±，即有最小值為； 當(dāng)直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時， 即為實軸，最小為2a. 由題意可得2a≥， 即為a2≥b2＝c2－a2， 即有c≤a， 則離心率e＝∈(1，]． 4．[2018

36、·承德模擬]已知點M(－2,0)，N(2,0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝2，記動點P的軌跡為W. (1)求W的方程； (2)若A和B是W上的不同兩點，O是坐標(biāo)原點，求·的最小值． 解　(1)由|PM|－|PN|＝2知動點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a＝. 又焦距2c＝4，所以虛半軸長b＝＝. 所以W的方程為－＝1(x≥)． (2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 當(dāng)AB⊥x軸時，x1＝x2，y1＝－y2， 從而·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝2. 當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(k≠±1)，與W的方程聯(lián)立

37、，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝＋＋m2 ＝＝2＋. 又因為x1x2>0，所以k2－1>0. 所以·>2. 綜上所述，當(dāng)AB⊥x軸時，·取得最小值2. 5．已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點P(2,1)，且其中一焦點F到一條漸近線的距離為1. (1)求雙曲線Γ的方程； (2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大值． 解　(1)∵雙曲線

38、－＝1過點(2,1)，∴－＝1. 不妨設(shè)F為右焦點，則F(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝＝b，∴b＝1，a2＝2， ∴所求雙曲線的方程為－y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋m.將y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中， 整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0. ∴x1＋x2＝，① x1x2＝.② ∵·＝0， ∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③ 將①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0， ∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0. 而P?AB，∴m＝－6k－3， 從而直線AB的方程為y＝kx－6k－3. 將y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中， 判別式Δ＝8(34k2＋36k＋10)>0恒成立， ∴y＝kx－6k－3即為所求直線． ∴P到AB的距離d＝＝. ∵2＝＝1＋≤2. ∴d≤4，即點P到直線AB距離的最大值為4. 20