八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期 7.2《用配方法解一元二次方程》教案 魯教版

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1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期 7.2《用配方法解一元二次方程》教案 魯教版 一、素質(zhì)教育目標(biāo) （一）知識(shí)儲(chǔ)備點(diǎn) 理解并掌握一元二次方程的配方法，能正確、熟練地運(yùn)用配方法解一元二次方程，并使學(xué)生真正理解配方法的整個(gè)過(guò)程．在理解的基礎(chǔ)上，牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”． （二）能力培養(yǎng)點(diǎn) 通過(guò)配方法的整個(gè)過(guò)程的理解培養(yǎng)學(xué)生按規(guī)循律分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、歸納思維的能力，切實(shí)提高學(xué)生解方程的能力． （三）情感體驗(yàn)點(diǎn) 使學(xué)生按照配方法的步驟一步一步地解方程讓學(xué)生形成有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣，按照規(guī)律

2、辦事的思想觀念，養(yǎng)成良好的品德修養(yǎng)，為將來(lái)的人生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)． 二、教學(xué)設(shè)想 1．重點(diǎn)：用配方法解一元二次方程． 2．難點(diǎn)：真正理解配方法的整個(gè)過(guò)程． 3．疑點(diǎn)：為什么要用配方法解一元二次方程． 4．課型與基本教學(xué)思路：新授課．本節(jié)課通過(guò)將一元二次方程變形，運(yùn)用直接開(kāi)平方的方法解方程，形成解一元二次方程的一個(gè)重要方法──配方法，并能運(yùn)用配方法解一元二次方程． 三、媒體平臺(tái) 1．教具、學(xué)具準(zhǔn)備：自制投影膠片． 2．多媒體課件擷英： 【注意】 課件要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行適當(dāng)修改． 四、課時(shí)安排

3、 １課時(shí) 五、教學(xué)步驟 （一）教學(xué)流程 1．情境導(dǎo)入 解方程：①x2+2x=5；②x2-4x+3=0．能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，將它們轉(zhuǎn)化為（ ）2＝a的形式，應(yīng)用直接開(kāi)平方法求解？ 2．課前熱身 提問(wèn)：（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）什么是一元二次方程的直接開(kāi)平方法？（3）什么是一元二次方程的因式分解法？ 3．合作探究 （1）整體感知：學(xué)生按照要求解． ①原方程轉(zhuǎn)化為x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，解得x=-1+，x=-1-． ②x2-4x+4=-3+4

4、，（x-2）2=1，所以x-2=±1，解得x1=3，x2=1． 教師歸納概括：上面我們把方程x2-4x+3=0變形為（x-2）2=1，它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，這樣能應(yīng)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法． （2）師生互動(dòng) 互動(dòng)1 提出配方時(shí)方程兩邊同時(shí)加上的常數(shù)是如何確定的？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 明確 配方時(shí)，化二次項(xiàng)系數(shù)為1，通過(guò)變形，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將左邊配成一個(gè)完全平方式，是配方法整個(gè)過(guò)程的重點(diǎn)． 互動(dòng)2 配方法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，它在很多

5、地方有重要的應(yīng)用，我們能總結(jié)出配方法的步驟嗎？ 明確 配方法的一般步驟是：（1）方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）配方，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使方程左邊為一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)的形式；（4）如果右邊是非負(fù)數(shù)，兩邊直接開(kāi)平方解這個(gè)一元二次方程． 互動(dòng)3 我們能否對(duì)x2+px+q=0用配方法進(jìn)行因式分解？讓學(xué)生自己完成，看誰(shuí)又快又正確． 明確 對(duì)于含有字母已知數(shù)的因式分解，移項(xiàng)得x2+px=-q， 配方得（x+）2=， x+=或x+=， 所以，x1=-+，x2

6、=--， 為下節(jié)課ax2+bx+c=0（a≠0）通過(guò)配方法推出一元二次方程的根，打下知識(shí)基礎(chǔ)． 4．達(dá)標(biāo)反饋 （1）填空題： ①x2-2x+（ 1 ）=[x+（ -1 ）]2； ②x2+6x+（ 9 ）=[x-（ -3 ）]2； ③x2-5x+ =（x- ）2； ④x2+2mx+ m2 =（x+ m ）2； ⑤x-3mx+m2 =（x- m ）2． ⑥用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，變形為（x+m）2=k，則m=，k=． （2）解答題： ①

7、用配方法解下列方程： ⑴x2-2x-5=0； ⑵x2+x-1=0； ⑶x2+x-=0； ⑷x2-2+1=0； 【答案】 ⑴x1=1-，x2=1+ ⑵x1=-+，x=-- ⑶x1=-，x2= ⑷x1=1+，x2=1- ②用配方法將下列各式化成a（x+h）2+k的形式． ⑴-3x2-2x+1； ⑵x2-x+1； ⑶y2+y-2； ⑷ax2+bx+c（a≠0）； 【答案】 ⑴-3（x+）2+ ⑵（x-）2+ ⑶（y+）2- ⑷a（x+）2+ 5．學(xué)習(xí)小結(jié)

8、 （1）引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么叫配方法，怎樣運(yùn)用配方法解一元二次方程，按照配方法的四個(gè)步驟正確、熟練地求一元二次方程的解． （2）教師擴(kuò)展：（方法歸納）用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，但前提是二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方法的理論根據(jù)是直接開(kāi)平方法． （二）拓展延伸 1．鏈接生活 鏈接一：如果一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，應(yīng)當(dāng)怎樣表示？ 解答：這兩個(gè)根的值分別為m、n（m≠n），那么可以表示為以下三種形式： （1）x1=m，x2=n； （2）x=m，或x=n（逗

9、號(hào)可以省去）； （3）x=m，和x=n． 注意不要用“x1=m，或x2=n”這種形式，不能用“x1=m，且x2=n”這種形式． 鏈接二：在什么情況下，解方程會(huì)出現(xiàn)增根？ 解答：我們知道，在方程兩邊可以加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或整式，也可以乘以（或除以）同一個(gè)非零數(shù)；從方程的每一項(xiàng)（不管是否為整式），都可以在改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊．對(duì)于方程進(jìn)行以上三種變形后，都不會(huì)出現(xiàn)增根． 那么，什么情況下會(huì)出現(xiàn)增根呢？在初中代數(shù)里遇到的以下情況時(shí)，就有可能產(chǎn)生增根： （1）在方程兩邊都乘以0，所得的新方程必然有無(wú)限多個(gè)根． （2

10、）在方程兩邊乘以同一個(gè)含未知數(shù)的整式．例如在方程x-1=0的兩邊都乘以（x-2），所得的新方程就產(chǎn)生一個(gè)增根x=2． （3）將方程兩邊乘同次方，例如將方程x+1=2兩邊平方，所得的新方程（x+1）2=4就產(chǎn)生一個(gè)增根x=-3． 2．鞏固練習(xí) （1）選擇題： ＋的值等于 （C） A．2-3 B．3-2 C．1 D．3 （2）填空題： ①x2-bx+=（x-）2； ②x2-（m+n）x+=（x-）2； ③y2+y+=（y+）2； ④當(dāng)a= -4

11、 時(shí)，二次三項(xiàng)式ax2+ax-1是一個(gè)完全平方式． （3）解答題： ①已知關(guān)于x的方程（ax+b）2=c有實(shí)數(shù)解． ⑴a、b、c應(yīng)各取怎樣的實(shí)數(shù)？ ⑵求方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根？ 【答案】 ⑴a≠0，b為一切實(shí)數(shù)，c≥0 ⑵x1=，x2=- ②用配方法解下列方程： ⑴x2-10x+24=0； ⑵x2-8x+15=0； ⑶x2+2x-99=0； ⑷y2+5y+2=0； ⑸2x2+x-30=0； ⑹x2+px+q=0（p2-4q>0）；

12、 ⑺-x2+2x+3=0； ⑻ax2+x-2=0（a>0）； ⑼ax2+ax-2=0（a>0）． 【答案】 ⑴x1=4，x2=6 ⑵x1=5，x2=3 ⑶x1=9，x2=-11 ⑷x1=-，x2=-- ⑸x1=，x2=-3 ⑹x1=-，x2=-- ⑺x1=3，x2=-1 ⑻x1=，x2= ⑼x=。 3．用配方法證明：無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2-4x+4.5的值恒大于零． （三）板書(shū)設(shè)計(jì) §22．2 一元二次方程的解法 2．一元二次方程的解法 配方法

13、：__________________ 例題講解：__________ 配方法的步驟：____________ 學(xué)生練習(xí)：__________ 配方法的注意事項(xiàng)：______________ 六、資料下載 配方法在解題中的應(yīng)用 配方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要方法，在解題中有廣泛的應(yīng)用．本文通過(guò)例題談?wù)勊囊恍?yīng)用． 一、應(yīng)用于因式分解 例1 分解因式x4+4． 解 配方，得 原式＝x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-（2x）2 ＝（x2+2x+2）（x2-2x+2）． 例2

14、分解因式a2-4ab+3b2-2bc-c2． 解 原式＝（a2-4ab+4b2）-（b2+2bc+c2） ＝（a-2b）2-（b+c）2 ＝（a-b+c）（a-3b-c）． 二、應(yīng)用于解方程 例3 解方程3x2+4y2-12x-8y+16=0． 解 分別對(duì)x、y配方，得 3（x2-4x+4）+4（y2-2y+1）=0， 3（x-2）2+4（y-1）2=0． 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 例4 解方程（x2+2）（y2+4）（z2+8）=64xyz（x、y

15、、z均是正實(shí)數(shù)）． 解 原方程變形，得 x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0 各自配方，得 （xyz-8）2+2（4x-yz）2+4（2y-xz）2+8（z-xy）2=0 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 解得 運(yùn)用配方法可為應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造條件，解題中應(yīng)注意掌握． 三、應(yīng)用于求二次函數(shù)的最值 例5 已知x是實(shí)數(shù)，求y=x2-4x+5的最小值． 解 由配方，得 y=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1 ∵

16、x是實(shí)數(shù)，∴（x-2）2≥0，當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，y最小，y最小=1． 例6 已知二次函數(shù)y=x2-6x+c的圖象的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，求c的值． 解 因?yàn)閥=x2-6x+c=x2-6x+9-9+c=（x-3）2+c-9， 所以這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，c-9），它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是 ＝5，由此解得c=5或c=13． 四、應(yīng)用于求代數(shù)式的值 例7 已知＝a（a≠0），求的值． 解 因?yàn)椋絘（a≠0），所以=，即x++1=， ∴x+=-1． ∵x2+=（x+）2-2， ∴

17、=x2++1=（x+）2+1-2 =（-1）2-1= 本題聯(lián)合應(yīng)用了倒數(shù)法和配方法使問(wèn)題得解．倒數(shù)法是一種解題技巧，解題時(shí)注意應(yīng)用． 例8 如果a2+b2-4a-2a+5=0，求的值． 解 由已知條件，分別對(duì)a、b配方，得 （a2-4a+4）+（b2-2b+1）=0， （a-2）2+（b-1）2=0． 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得a-2=0，b-1=0． ∴a=2，b=1． ∴======3+3 五、判定幾何圖形的形狀 例9 已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定△ABC是正三角形． 證明 由已知等式兩邊乘以2，得 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0， 拆項(xiàng)、配方，得 （a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0． 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得 a-b=0，b-c=0，c-a=0， ∴a=b，b=c，c=a，a=b=c． 故△ABC是等邊三角形．