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1、2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-2 參數(shù)方程《教案》
1.參數(shù)方程和普通方程的互化
(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地,可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程.
(2)如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),那么就是曲線的參數(shù)方程.
2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程
點的軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線
y-y0=tan α(x-x0)
(t為參數(shù))
圓
x2+y2=r2
(θ為參數(shù))
橢圓
+=1(a>b>0)
(φ為參數(shù))
2、雙曲線
-=1 ,(a>0,b>0)
(φ為參數(shù))
拋物線
y2=2px (p>0)
(t為參數(shù))
1.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求直線l的斜率.
解 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為
y-2=-3(x-1),因此直線l的斜率為-3.
2.已知直線l1:(t為參數(shù))與直線l2:(s為參數(shù))垂直,求k的值.
解 直線l1的方程為y=-x+,斜率為-;
直線l2的方程為y=-2x+1,斜率為-2.
∵l1與l2垂直,
∴(-)×(-2)=-1?k=-1.
3.已知點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上,求PF的值.
解 將拋物線的參數(shù)方程化為普通
3、方程為y2=4x,則焦點F(1,0),準線方程為x=-1,又P(3,m)在拋物線上,由拋物線的定義知PF=3-(-1)=4.
4.已知曲線C的極坐標方程是ρ=1,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),求直線l與曲線C相交所截的弦長.
解 曲線C的直角坐標方程為x2+y2=1,
直線l的普通方程為3x-4y+3=0.
圓心到直線的距離d==.
∴直線l與曲線C相交所截的弦長為2=.
題型一 參數(shù)方程與普通方程的互化
例1 (1)如圖,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程.
(2)在
4、平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若l與C相交于A,B兩點,求AB的長.
解 (1)圓的半徑為,記圓心為C(,0),連結(jié)CP,則∠PCx=2θ,故xP=+cos 2θ=cos2θ,
yP=sin 2θ=sin θcos θ(θ為參數(shù)).
所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(2)直線l的普通方程為x+y=2,曲線C的普通方程為y=(x-2)2(y≥0),聯(lián)立兩方程得x2-3x+2=0,求得兩交點坐標為(1,1),(2,0),所以AB=.
思維升華 消去參數(shù)的方法一般有三種:
(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù);
5、
(2)利用三角恒等式消去參數(shù);
(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).
將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍.
(1)求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù).
(2)在平面直角坐標系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)a的值.
解 (1)將消去參數(shù)t得直線x+y-1=0;
將消去參數(shù)α得圓x2+y2=9.
又圓心(0,0)到直線x+y-1=0的距離d=<3.
因此直線與圓相交,故直線與曲線有2
6、個交點.
(2)直線l的普通方程為x-y-a=0,
橢圓C的普通方程為+=1,
∴橢圓C的右頂點坐標為(3,0),若直線l過(3,0),
則3-a=0,∴a=3.
題型二 參數(shù)方程的應用
例2 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(1)求直線l和圓C的普通方程;
(2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0,
圓C的普通方程為x2+y2=16.
(2)因為直線l與圓C有公共點,
故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4,
解得-2≤a≤2.
思維升華 已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問
7、題時,一般是把參數(shù)方程化為普通方程,通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題,如最值、范圍等.
在平面直角坐標系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù)),求曲線C1與C2的交點坐標.
解 曲線C1的普通方程為x2+y2=5(x≥0,y≥0).
曲線C2的普通方程為x-y-1=0.
解方程組得
∴曲線C1與C2的交點坐標為(2,1).
題型三 極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應用
例3 (xx·課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π,在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sin θ,曲線C3:ρ=2cos
8、θ.
(1)求C2與C3交點的直角坐標;
(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求AB的最大值.
解 (1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0.
聯(lián)立解得或
所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.
(2)曲線C1的極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的極坐標為(2sin α,α),B的極坐標為(2cos α,α).
所以AB=|2sin α-2cos α|=4.
當α=時,AB取得最大值,最大值為4.
思維升華 在對坐標系與參數(shù)方程的考查中,最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢,靈活地
9、利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答.例如,將題設(shè)條件中涉及的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標方程,然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法,對應數(shù)學問題求解的“化生為熟”原則,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.
在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l和圓C交于A,B兩點,P是圓C上不同于A,B的任意一點.
(1)求圓心的極坐標;
(2)求△PAB面積的最大值.
解 (1)由圓C的極坐標方程為
ρ=2cos(θ+),得
ρ2=2(ρcos θ-ρsin θ),
10、
把代入可得圓C的直角坐標方程為x2+y2-2x+2y=0,
即(x-1)2+(y+1)2=2.
∴圓心坐標為(1,-1),
∴圓心的極坐標為(,).
(2)由題意,得直線l的直角坐標方程為2x-y-1=0.
∴圓心(1,-1)到直線l的距離d==,∴AB=2=2=.
點P到直線l的距離的最大值為r+d=+=,
∴Smax=××=.
1.將參數(shù)方程化為普通方程是解決問題的一般思路,體現(xiàn)了化歸思想.
2.將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解;確定曲線的參數(shù)方程時,一定要根據(jù)實際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍,必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解.
11、A組 專項基礎(chǔ)訓練
(時間:50分鐘)
1.求直線(t為參數(shù))被曲線(θ為參數(shù))所截得的弦長.
解 直線方程可化為x+y-=0,
曲線方程可化為x2+=1.
由得x2-x=0,
∴x=0或x=1.
可得交點為A(0,),B(1,0).
∴AB==2.
∴所截得的弦長為2.
2.直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切,求切線的傾斜角.
解 直線的普通方程為bx-ay-4b=0,圓的普通方程為(x-2)2+y2=3,直線與圓相切,則圓心(2,0)到直線的距離為,從而有=,即3a2+3b2=4b2,∴b=±a,而直線的傾斜角的正切值為tan α=,∴tan α=±,因此切線的傾斜
12、角為或.
3.已知直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程:(t為參數(shù)),以直角坐標系的原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程.
解 ∵直線l的直角坐標方程為x-y+=0.
∴原點到直線的距離r==1.
∴以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程為ρ=1.
4.(xx·湖北)在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點,求AB的長.
解 直線l的極坐標方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化為直角
13、坐標方程為3x-y=0,曲線C的參數(shù)方程兩式經(jīng)過平方相減,化為普通方程為y2-x2=4,聯(lián)立解得或
所以A,B.
所以AB= =2.
5.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以O(shè)為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2的方程為ρsin(θ+)=2,求曲線C1與曲線C2的交點個數(shù).
解 曲線C1,C2化為普通方程和直角坐標方程分別為x2=2y,x+y-4=0,聯(lián)立消去y得x2+2x-8=0,因為判別式Δ>0,所以方程有兩個實數(shù)解.故曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)為2.
6.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x
14、相交于A,B兩點,求線段AB的長.
解 將直線l的參數(shù)方程
代入拋物線方程y2=4x,
得2=4,
解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
B組 專項能力提升
(時間:30分鐘)
7.(xx·陜西)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,⊙C的極坐標方程為ρ=2sin θ.
(1)寫出⊙C的直角坐標方程;
(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.
解 (1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)設(shè)P
15、,又C(0,),
則PC= =,
故當t=0時,PC取得最小值,
此時,P點的直角坐標為(3,0).
8.已知直線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(θ為參數(shù)).
(1)當α=時,求C1與C2的交點坐標;
(2)過坐標原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當α變化時,求P點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.
解 (1)當α=時,C1的普通方程為y=(x-1),
C2的普通方程為x2+y2=1,
聯(lián)立方程得解得C1與C2的交點坐標分別為(1,0),(,-).
(2)依題意,C1的普通方程為xsin α-ycos α-sin α=0,
則A點的坐標為(sin2α,-si
16、n αcos α),
故當α變化時,
P點軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),
∴P點軌跡的普通方程為(x-)2+y2=.
故P點的軌跡是圓心為(,0),半徑為的圓.
9.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4sin(θ-).
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)點P(x,y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ-)的公共點,求x+y的取值范圍.
解 (1)因為圓C的極坐標方程為ρ=4sin(θ-),
所以ρ2=4ρsin(θ-)=4ρ(sin θ-cos θ).
又ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin
17、 θ,
所以x2+y2=2y-2x,
所以圓C的直角坐標方程為x2+y2+2x-2y=0.
(2)設(shè)z=x+y,
由圓C的方程x2+y2+2x-2y=0,得
(x+1)2+(y-)2=4,
所以圓C的圓心是(-1,),半徑是2.
將代入z=x+y,得z=-t.
又直線l過C(-1,),圓C的半徑是2,
所以-2≤t≤2,
所以-2≤-t≤2,
即x+y的取值范圍是[-2,2].
10.在平面直角坐標系xOy中,動圓x2+y2-4xcos θ-4ysin θ+7cos2θ-8=0 (θ∈R,θ為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C,點P在曲線C上運動.以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,若直線l的極坐標方程為2ρcos=3,求點P到直線l的最大距離.
解 將動圓的方程配方,得
(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ,
設(shè)圓心(x,y),則 (θ∈R,θ為參數(shù)),
即曲線C的參數(shù)方程為 (θ∈R,θ為參數(shù)),
直線l的直角坐標方程為x-y-3=0,
設(shè)點P(x1,y1),則(θ∈R,θ為參數(shù)),點P到直線l的距離d==,
其中tan φ=-.
∴當sin(θ+φ)=-1,點P到直線l的距離d取得最大值.