（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3講 圓的方程學(xué)案

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1、 第3講　圓的方程 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　圓的定義、方程 1.在平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓． 2.確定一個圓的基本要素是：圓心和半徑． 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 4.圓的一般方程 (1)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)方程表示圓的充要條件為：D2＋E2－4F>0； (3)圓心坐標(biāo)，半徑r＝. 考點2　點與圓的位置關(guān)系 1.理論依據(jù) 點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系． 2.三個結(jié)論 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)，d為圓心到點M

2、的距離． (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上?d＝r； (2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外?d>r； (3)(x0－a)2＋(y0－b)20)，其中a，b為定值，r是參數(shù)； (2)半徑相等的圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)． 3.圓的直徑端點是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則圓的方

3、程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [考點自測]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(　　) (3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圓．(　　) (4)方程x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是B＝0，D2＋E2－4F>0.(　　) (5)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.

4、(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2.[教材習(xí)題改編]圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　) A.(2,3) B．(－2,3) C.(－2，－3) D．(2，－3) 答案　D 解析　由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圓心坐標(biāo)為(2，－3). 3.圓心在y軸上且通過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是(　　) A.x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C.x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 答案　B 解析　設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|， ∴圓的方程為x2＋(y－

5、b)2＝b2. ∵點(3,1)在圓上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5. ∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0. 4.[2016·北京高考]圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3 的距離為(　　) A.1 B．2 C. D．2 答案　C 解析　由題知圓心坐標(biāo)為(－1,0)，將直線y＝x＋3化成一般形式為x－y＋3＝0，故圓心到直線的距離d＝＝.故選C. 5.[課本改編]方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是(　　) A.1 C.m< D．m>1 答案　B 解析　由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>

6、1. 6.已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則C的方程為________． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　依題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，把所給兩點坐標(biāo)代入方程，得 解得所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝10. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　確定圓的方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)[2018·承德模擬]圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程為________． 答案　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 解析　設(shè)點C為圓心，因為點C在直線x－2y－3＝0上

7、，所以可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a＋3，a)． 又該圓經(jīng)過A，B兩點，所以|CA|＝|CB|， 即 ＝，解得a＝－2， 所以圓心C的坐標(biāo)為(－1，－2)，半徑r＝. 所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (2)[2016·天津高考]已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________． 答案　(x－2)2＋y2＝9 解析　設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由題意可得解得所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 觸類旁通 1.用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟 (1)選用圓的方程兩種形式中

8、的一種(若知圓上三個點的坐標(biāo)，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標(biāo)軸間的關(guān)系，通常選用標(biāo)準(zhǔn)方程)； (2)根據(jù)所給條件，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)或a，b，r的方程組； (3)解方程組，求出D，E，F(xiàn)或a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到所求圓的方程． 2.用幾何法求圓的方程 利用圓的幾何性質(zhì)求方程，可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用. 【變式訓(xùn)練1】　[2015·全國卷Ⅱ]過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝(　　) A.2 B．8 C．4 D．10 答案　C 解析　設(shè)圓的方

9、程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將點A，B，C代入，得解得 則圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y2＋4y－20＝0，設(shè)M(0，y1)，N(0，y2)， 則y1，y2是方程y2＋4y－20＝0的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20， 故|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4. 考向　與圓有關(guān)的對稱問題 命題角度1　兩圓相互對稱　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(0,0)對稱的圓的方程為________． 答案　(x－2)2＋y2＝5 解析　因為所求圓的圓心與圓(x＋2)2＋y2

10、＝5的圓心(－2,0)關(guān)于原點(0,0)對稱，所以所求圓的圓心為(2,0)，半徑為，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝5. 命題角度2　圓自身對稱 例3　若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相異兩點P，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為________． 答案　2 解析　圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．已知圓的圓心為(－1,3)，由題設(shè)知，直線kx＋2y－4＝0過圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2. 觸類旁通 對稱圓的半徑不變，圓的對稱問題實際上是點的對稱問題，求解過程中最重要的就是確定圓心． 掌握對稱圓的幾何特性對于解決圓的對稱問題非常重

11、要，此類問題往往與直線的位置關(guān)系綜合命題. 考向　與圓有關(guān)的最值　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命題角度1　距離型最值 例4　[2018·沈陽模擬]已知x，y滿足x＋2y－5＝0，則(x－1)2＋(y－1)2的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　(x－1)2＋(y－1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方．由已知可得點P在直線l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離， 即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值為d2＝.故選A. 命題角度2　建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題 例5　已知圓C：(x－3)2

12、＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　) A.7 B．6 C．5 D．4 答案　B 解析　解法一：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圓上點P(x0，y0)可化為 ∵∠APB＝90°，即·＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0， ∴m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36， ∴00)， ∴m＝|OP|≤|OC|＋r， C(3,4)，r＝1，∴

13、|OP|≤6，即m≤6.故選B. 觸類旁通 與圓有關(guān)的最值問題的求解方法 (1)借助幾何性質(zhì)求最值 ①形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； ②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； ③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題． (2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值 根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的. 考向　與圓有關(guān)的軌跡問題 例6　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P

14、，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程． 解　(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2

15、＋y2－x－y－1＝0. 觸類旁通 與圓有關(guān)的軌跡問題的求法 (1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程； (2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程； (3)代入法(相關(guān)點法)：找到要求點與已知點的關(guān)系代入已知點滿足的關(guān)系式． 注：本章第8講有詳細(xì)講解. 【變式訓(xùn)練2】　[全國卷Ⅰ]已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． 解　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.

16、設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為. 核心規(guī)律 1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件．“選形式，定參數(shù)”是求圓的方程

17、的基本方法，即根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù)． 2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算． 滿分策略 1.求圓的方程需要三個獨立條件，因此不論選用哪種形式的圓的方程都要列出三個獨立的關(guān)系式． 2.解答與圓有關(guān)的最值問題一般要結(jié)合代數(shù)式的幾何意義進行，注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的性質(zhì)． 3.解決與圓有關(guān)的軌跡問題，一定要看清要求，是求軌跡方程還是求軌跡． 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 創(chuàng)新交匯系列 6——圓與線性規(guī)劃的交匯問題 如果點P在平面區(qū)域上，點Q在圓x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值為________． 解題視

18、點　此類題目是線性規(guī)劃與圓結(jié)合的問題，關(guān)鍵是畫好區(qū)域理解問題的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合思想． 解析　由點P在平面區(qū)域 上，畫出點P所在的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示；由點Q在圓x2＋(y＋2)2＝1上，再畫出點Q所在的圓，如圖所示． 由題意得|PQ|的最小值為圓心(0，－2)到平面區(qū)域的最小距離減去半徑長． 又圓心(0，－2)到直線x－2y＋1＝0的距離為＝，此時垂足(－1,0)在滿足條件的平面區(qū)域內(nèi)，故|PQ|的最小值為－1. 答案?。? 答題啟示　本題考查線性規(guī)劃及圓、點到直線的距離等知識，并考查考生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力.本題的突出特點就是將圓與線性規(guī)劃問題有機地結(jié)合起

19、來，為我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識相互交匯的新天地，求解時既要注意使用線性規(guī)劃的基本思想，又要利用圓上各點的特殊性.實際上是對數(shù)形結(jié)合思想的提升，即利用線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過作圖來解決最值問題. 　　　　　　　　　　　　　 跟蹤訓(xùn)練 [2016·四川高考]設(shè)p：實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的(　　) A.必要不充分條件 B．充分不必要條件 C.充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　如圖作出p，q表示的區(qū)域，其中⊙M及其內(nèi)部為p表示的區(qū)域，△ABC及其內(nèi)部(陰影部分)為q表示的區(qū)域，故p是q的必要不充分條件. 板

20、塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.[2018·濰坊模擬]若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3 C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4 答案　D 解析　因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，選D. 2.[2018·東莞調(diào)研]已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m

21、的值為(　　) A.8 B．－4 C．6 D．無法確定 答案　C 解析　圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6. 3.圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的和是(　　) A.30 B．18 C．10 D．5 答案　C 解析　由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0知圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，則圓上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離為＋3＝8，最小距離為－3＝2，故最大距離與最小距離的和為10. 4.如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時，圓

22、心坐標(biāo)為(　　) A.(－1,1) B．(1，－1) C.(－1,0) D．(0，－1) 答案　D 解析　r＝＝，當(dāng)k＝0時，r最大，此時圓的方程為x2＋(y＋1)2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，選D. 5.[2018·臨汾模擬]若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又由圓與直

23、線4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1. 6.方程|y|－1＝表示的曲線是(　　) A.一個橢圓 B．一個圓 C.兩個圓 D．兩個半圓 答案　D 解析　由題意知|y|－1≥0，則y≥1或y≤－1，當(dāng)y≥1時，原方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)為圓心、1為半徑、直線y＝1上方的半圓；當(dāng)y≤－1時，原方程可化為(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)為圓心、1為半徑、直線y＝－1下方的半圓．所以方程|y|－1＝表示的曲線是兩個半圓，選D. 7.[2018·濟南模擬]已

24、知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為(　　) A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 答案　B 解析　設(shè)圓C1的圓心坐標(biāo)C1(－1,1)關(guān)于直線x－y－1＝0的對稱點為(a，b)，依題意得解得所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 8.[2016·浙江高考]已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________． 答案　(－2，－

25、4)　5 解析　由題可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1 時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5.當(dāng)a＝2時，方程不表示圓. 9.直線x－2y－2k＝0與2x－3y－k＝0的交點在圓x2＋y2＝9的外部，則k的取值范圍是________． 答案　∪ 解析　由得 ∴(－4k)2＋(－3k)2>9，即25k2>9， 解得k>或k<－. 10.[2018·泰安模擬]已知x，y滿足x2＋y2＝1，則的最小值為________． 答案　 解析　表示圓上的點P(x，y)與點Q(1,2)連線的斜率，∴的最小值是直線PQ與圓相切時的斜

26、率．設(shè)直線PQ的方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由＝1，得k＝，結(jié)合圖形可知≥，∴所求最小值為. [B級　知能提升] 1.若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(　　) A.(4,6) B．[4,6] C．[4,6) D．(4,6] 答案　A 解析　易求圓心(3，－5)到直線4x－3y＝2的距離為5.令r＝4，可知圓上只有一點到已知直線的距離為1；令r＝6，可知圓上有三點到已知直線的距離為1，所以半徑r取值范圍在(4,6)之間符合題意. 2.經(jīng)過點A(1,0)，B(5,4)的圓中，圓的面積

27、最小的方程是____． 答案　(x－3)2＋(y－2)2＝8 解析　由題意可知，A、B是所求圓的直徑的兩端點，圓心M為 半徑r＝|AB|＝2， ∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝8. 附：由必會結(jié)論可得： 所求圓的方程為(x－1)(x－5)＋(y－0)(y－4)＝0，即(x－3)2＋(y－2)2＝8. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 解　(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x

28、2＋3. 故點P的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得＝. 又P點在雙曲線y2－x2＝1上，從而得 由得此時，圓P的半徑r＝， 由得此時，圓P的半徑r＝， 故圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3. 4.已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求·的最小值． 解　(1)設(shè)圓心C(a，b)， 由已知得M(－2，－2)， 則解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2， 將點P的坐標(biāo)代入得r2＝2， 故圓C的方程

29、為x2＋y2＝2. (2)設(shè)Q(x，y)，得x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令x＝cosθ，y＝sinθ， ∴·＝x＋y－2＝(sinθ＋cosθ)－2 ＝2sin－2， 所以·的最小值為－4. 5.[2018·洛陽統(tǒng)考]已知圓S經(jīng)過點A(7,8)和點B(8,7)，圓心S在直線2x－y－4＝0上． (1)求圓S的方程； (2)若直線x＋y－m＝0與圓S相交于C，D兩點，若∠COD為鈍角(O為坐標(biāo)原點)，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)線段AB的中垂線方程為y＝x， 由得所以圓S的圓心為S(4,4)， 圓S的半徑為|SA|＝5，故圓S的方程為(x－4)2＋(y－4)2＝25. (2)由x＋y－m＝0變形得y＝－x＋m，代入圓S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0. 令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得 8－5