（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第1講 算法初步學案

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1、 第1講　算法初步 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　算法的框圖及結構 1．算法 算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確程序或有限的步驟．這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成． 2．程序框圖 程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．通常，程序框圖由程序框和流程線組成，一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟；流程線帶有方向箭頭，按照算法進行的順序將程序框連接起來． 3．三種基本邏輯結構 考點2　算法語句的格式及框圖 1．輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能 2．條件語句的格

2、式及框圖 (1)IF－THEN格式 (2)IF－THEN－ELSE格式 3．循環(huán)語句的格式及框圖 (1)UNTIL語句 (2)WHILE語句 [必會結論] 1．注意區(qū)分處理框與輸入框，處理框主要是賦值、計算，而輸入框只是表示一個算法輸入的信息． 2．循環(huán)結構中必有條件結構，其作用是控制循環(huán)進程，避免進入“死循環(huán)”，是循環(huán)結構必不可少的一部分． 3．注意區(qū)分當型循環(huán)與直到型循環(huán)．直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”，而當型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”．兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反． [考點自測

3、] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)算法只能解決一個問題，不能重復使用．(　　) (2)一個程序框圖一定包含順序結構，但不一定包含條件結構和循環(huán)結構．(　　) (3)算法可以無限操作下去. (　　) (4)條件結構的出口有兩個，但在執(zhí)行時，只有一個出口是有效的. (　　) (5)?是賦值框，有計算功能．(　　) (6)當型循環(huán)是給定條件不成立時執(zhí)行循環(huán)體，反復進行，直到條件成立為止. (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× 2．[2017·北京高考]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A．2

4、 B. C. D. 答案　C 解析　開始：k＝0，s＝1； 第一次循環(huán)：k＝1，s＝2； 第二次循環(huán)：k＝2，s＝； 第三次循環(huán)：k＝3，s＝，此時不滿足循環(huán)條件，輸出s， 故輸出的s值為.故選C. 3．[2016·全國卷Ⅱ]中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝(　　) A．7 B．12 C．17 D．34 答案　C 解析　k＝0，s＝0，輸入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；輸入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；輸入a＝5，s＝6×2＋5＝17

5、，k＝3>2，輸出s＝17.故選C. 4．[2017·山東高考]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸入的x的值為4時，輸出的y的值為2，則空白判斷框中的條件可能為(　　) A．x>3? B．x>4? C．x≤4? D．x≤5? 答案　B 解析　輸入x＝4，若滿足條件，則y＝4＋2＝6，不符合題意；若不滿足條件，則y＝log24＝2，符合題意，結合選項可知應填x>4？.故選B. 5．[2018·樂山模擬]一算法的程序框圖如圖所示，若輸出的y＝，則輸入的x可能為(　　) A．－1 B．1 C．1或5 D．－1或1 答案　B 解析　這是一個用條件分支結構設計的算法， 該

6、程序框圖所表示的算法的作用是求分段函數(shù)y＝的函數(shù)值，輸出的結果為，當x≤2時，sin＝，解得x＝1＋12k，或x＝5＋12k，k∈Z，即x＝1，－7，－11，… 當x>2時，2x＝，解得x＝－1(不符，舍去)， 則輸入的x可能為1.故選B. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　算法的基本結構 例　1　[2017·全國卷Ⅲ]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　假設N＝2，程序執(zhí)行過程如下： t＝1，M＝100，S＝0， 1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2

7、， 2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3， 3＞2，輸出S＝90＜91.符合題意． ∴N＝2成立．顯然2是最小值．故選D. 觸類旁通 利用循環(huán)結構表示算法應注意的問題 (1)注意是利用當型循環(huán)結構，還是直到型循環(huán)結構； (2)注意選擇準確地表示累計的變量； (3)注意在哪一步開始循環(huán)，滿足什么條件不再執(zhí)行循環(huán)體． 【變式訓練1】　[2018·河南百校聯(lián)盟]《九章算術》是中國古代數(shù)學名著，體現(xiàn)了古代勞動人民的數(shù)學智慧，其中有一竹節(jié)容量問題，某教師根據(jù)這一問題的思想設計了如圖所示的程序框圖，若輸出的m的值為35，則輸入的a的值為(　　) A．4 B．5

8、C．7 D．11 答案　A 解析　起始階段有m＝2a－3，i＝1， 第一次循環(huán)，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2； 第二次循環(huán)，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3； 第三次循環(huán)，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4； 接著計算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循環(huán)， 輸出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4. 考向　算法的交匯性問題 命題角度1　與函數(shù)的交匯問題 例　2　[2018·鄭州模擬]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s屬于(　　) A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－

9、4,3] D．[－2,5] 答案　A 解析　當－1≤t＜1時，s＝3t，則s∈[－3,3)．當1≤t≤3時，s＝4t－t2.函數(shù)在[1,2]上單調(diào)遞增，在[2,3]上單調(diào)遞減．∴s∈[3,4]． 綜上知s∈[－3,4]．故選A. 命題角度2　與數(shù)列求和的交匯問題 例　3　執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　由程序框圖可知，當k＝1時，s＝，當k＝2時，s＝＋，當k＝n時，s＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－，由1－≥?n≥9，即當k＝9時，s＝.故選C. 命題角度3　與統(tǒng)計的交匯問題 例　4　在2017～201

10、8賽季NBA季后賽中，當一個球隊進行完7場比賽被淘汰后，某個籃球愛好者對該隊的7場比賽得分情況進行統(tǒng)計，如下表： 場次i 1 2 3 4 5 6 7 得分xi 100 104 98 105 97 96 100 為了對這個隊的情況進行分析，此人設計計算σ的算法流程圖如圖所示(其中是這7場比賽的平均得分)，求輸出的σ的值． 解　由題知＝(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程圖可知s＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)

11、2＝70.故σ＝＝. 觸類旁通 解決算法的交匯性問題的方法 循環(huán)結構的程序框圖與數(shù)列、不等式、統(tǒng)計等知識綜合是高考命題的一個熱點，解決此類問題時應把握三點：一是初始值，即計數(shù)變量與累加變量的初始值；二是兩個語句，即循環(huán)結構中關于計數(shù)變量與累加變量的賦值語句；三是一個條件，即循環(huán)結束的條件，注意條件與流程線的對應關系． 考向　基本算法語句 例　5　[2018·南京模擬]執(zhí)行下邊的程序，輸出的結果是________． 答案　11 解析　根據(jù)循環(huán)結構可得： 第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，則循環(huán)；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，則循

12、環(huán)；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，則循環(huán)；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945>200，則循環(huán)結束，故此時i＝11. 觸類旁通 基本算法語句應用中需注意的問題 (1)賦值號“＝”的左、右兩邊不能對調(diào)，A＝B和B＝A的含義及運行結果是不同的； (2)不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算(如化簡、因式分解等)，在賦值語句中的賦值號右邊的表達式中每一個“變量”都必須事先賦給確定的值； (3)賦值號與數(shù)學中的等號意義不同，比如在數(shù)學中式子N＝N＋1一般是錯誤的，但在賦值語句中它的作用是將原有的N的值加上1再賦給變量N，這樣原來的值被“沖”掉

13、． 【變式訓練2】　[2018·龍巖質檢]如圖所示的程序，若最終輸出的結果為，則在程序中橫線____？____處應填入的語句為(　　) A．i>＝8 B．i>＝7 C．i<7 D．i<8 答案　B 解析　S＝0，n＝2，i＝1，執(zhí)行S＝，n＝4，i＝2；S＝＋＝，n＝8，i＝3；S＝＋＝，n＝16，i＝4；S＝＋＝，n＝32，i＝5；S＝＋＝，n＝64，i＝6；S＝＋＝，n＝128，i＝7.此時滿足條件輸出的S＝，∴“？”處應填上i>＝7.故選B. 核心規(guī)律 1．在畫程序框圖時首先要進行結構的選擇．若所要解決的問題不需要分情況討論，則只用順序結構就能解決；若所要解

14、決的問題要分若干種情況討論，則必須引入條件結構；若所要解決的問題要進行多次重復的步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律，則必須引入變量，應用循環(huán)結構． 2．利用循環(huán)結構表示算法，一定要先確定是用當型循環(huán)結構，還是用直到型循環(huán)結構；當型循環(huán)結構的特點是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結構的特點是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷．兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反． 滿分策略 1．注意起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同． 2．注意條件結構與循環(huán)結構的聯(lián)系：對于循環(huán)結構有重復性，條件結構具有選擇性沒有重復性，并且循環(huán)結構中必定包含一個條件結構，用于確定何時終止循環(huán)體． 3．賦值號

15、左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量，例如Y＝x，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫為x＝Y.因為后者表示用Y的值替代變量x的值. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 規(guī)范答題系列5——解決程序框圖問題的答題模板 [2017·全國卷Ⅱ]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a＝－1，則輸出的S＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解題視點　按部就班法是按照所給程序框圖流程線的指向，逐個程序框運行，逐步進行運算，逐步檢驗，直至滿足輸出的條件，即可求得輸出結果的方法．此種方法適用于處理運算次數(shù)不是很多的條件分支結構以及循環(huán)結構的程序框圖．

16、 解析　當K＝1時，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝2； 當K＝2時，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝3； 當K＝3時，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝4； 當K＝4時，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝5； 當K＝5時，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝6； 當K＝6時，S＝－3＋1×6＝3，執(zhí)行K＝K＋1后，K＝7>6，輸出S＝3.結束循環(huán)．故選B. 答案　B [答題模板]　 跟蹤訓練 [2017·天津高考]閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N

17、的值為24，則輸出N的值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　第一次循環(huán)執(zhí)行條件語句，此時N＝24,24能被3整除，則N＝24÷3＝8. ∵8≤3不成立，∴進入第二次循環(huán)執(zhí)行條件語句，此時N＝8,8不能被3整除，則N＝8－1＝7. ∵7≤3不成立，∴進入第三次循環(huán)執(zhí)行條件語句，此時N＝7,7不能被3整除，則N＝7－1＝6. ∵6≤3不成立，∴進入第四次循環(huán)執(zhí)行條件語句，此時N＝6,6能被3整除，則N＝6÷3＝2. ∵2≤3成立，∴此時輸出N＝2.故選C. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·沈陽調(diào)研]要計算1＋＋＋

18、…＋的結果，下面程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填(　　) A．n<2018? B．n≤2018? C．n>2018? D．n≥2018? 答案　B 解析　題中所給的程序框圖中的循環(huán)結構為當型循環(huán)，累加變量初始值為0，計數(shù)變量初始值為1，要求S＝0＋1＋＋＋…＋的值，共需要計算2018次．故選B. 2．中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．現(xiàn)將該問題以程序框圖給出，執(zhí)行該程

19、序框圖，則輸出的n等于(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 答案　C 解析　當n＝21時，21被3整除，執(zhí)行否． 當n＝22時，22除以3余1，執(zhí)行否； 當n＝23時，23除以3余2，執(zhí)行是； 又23除以5余3，執(zhí)行是，輸出的n＝23.故選C. 3．[2017·全國卷Ⅰ]如圖所示的程序框圖是為了求出滿足3n－2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入(　　) A．A>1000？和n＝n＋1 B．A>1000？和n＝n＋2 C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2 答案　D 解析　因為題目要求的是“

20、滿足3n－2n＞1000的最小偶數(shù)n”，所以n的疊加值為2，所以內(nèi)填入“n＝n＋2”．由程序框圖知，當內(nèi)的條件不滿足時，輸出n，所以內(nèi)填入“A≤1000？”．故選D. 4．[2018·汕頭模擬]若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為3，則判斷框中應填入的條件是(　　) A．k<6? B．k<7? C．k<8? D．k<9? 答案　C 解析　根據(jù)程序框圖，運行結果如下： 第一次循環(huán)：S＝log23，k＝3； 第二次循環(huán)：S＝log23·log34，k＝4； 第三次循環(huán)：S＝log23·log34·log45，k＝5； 第四次循環(huán)：S＝log23·log34·log45·

21、log56，k＝6； 第五次循環(huán)：S＝log23·log34·log45·log56·log67，k＝7； 第六次循環(huán)：S＝log23·log34·log45·log56·log67·log78＝log28＝3，k＝8， 故如果輸出S＝3，那么只能進行六次循環(huán)，故判斷框內(nèi)應填入的條件是k<8.故選C. 5．[2018·漢中模擬]給出一個如圖所示的程序框圖，若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則x的可能值的個數(shù)為(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案　C 解析　分析程序中各變量、各語句的作用， 再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù)

22、y＝的值， 又∵輸入的x值與輸出的y值相等， 當x≤2時，x＝x2，解得x＝0，或x＝1， 當25時，x＝，解得x＝±1(舍去)， 故滿足條件的x值共有3個．故選C. 6．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x的值為2.4，則輸出z的值為(　　) A．1.2 B．0.6 C．0.4 D．－0.4 答案　D 解析　輸入x＝2.4，則y＝2.4，x＝[2.4]－1＝1>0， ∴x＝＝1.2；y＝1.2，x＝[1.2]－1＝0，∴x＝＝0.6；y＝0.6，

23、x＝[0.6]－1＝－1<0，則z＝x＋y＝－1＋0.6＝－0.4.故選D. 7．[2018·湖南模擬]給出30個數(shù)：1,2,4,7,11，…，要計算這30個數(shù)的和，現(xiàn)已給出了該問題的程序框圖如圖所示，那么框圖中判斷框①處和執(zhí)行框②處應分別填入(　　) A．i≤30？；p＝p＋i－1 B．i≤31？；p＝p＋i＋1 C．i≤31？；p＝p＋i D．i≤30？；p＝p＋i 答案　D 解析　由于要計算30個數(shù)的和， 故循環(huán)要執(zhí)行30次，由于循環(huán)變量的初值為1，步長為1，故終值應為30，即①中應填寫i≤30； 又由第1個數(shù)是1， 第2個數(shù)比第1個數(shù)大1，即1＋1＝2；

24、 第3個數(shù)比第2個數(shù)大2，即2＋2＝4； 第4個數(shù)比第3個數(shù)大3，即4＋3＝7； …… 故②中應填寫p＝p＋i.故選D. 8．[2017·江蘇高考]下圖是一個算法流程圖．若輸入x的值為，則輸出y的值是________． 答案　－2 解析　輸入x＝，≥1不成立，執(zhí)行y＝2＋log2＝2－4＝－2.輸出y的值為－2. 9．[2018·黃岡模擬]隨機抽取某中學甲、乙兩個班各10名同學，測量他們的身高獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，在樣本的20人中，記身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人數(shù)依次為A1，A2，A3，A4.如圖是統(tǒng)計樣本中身

25、高在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法框圖．若圖中輸出的S＝18，則判斷框應填________． 答案　i<5？(或i≤4？) 解析　由于i從2開始，也就是統(tǒng)計大于或等于160的所有人數(shù)，于是就要計算A2＋A3＋A4，因此，判斷框應填i<5？或i≤4？. 10．已知a，b，c為集合A＝{1,2,3,4,5}中三個不同的數(shù)，通過如圖所示的算法框圖給出一個算法，輸出一個整數(shù)a，則輸出的數(shù)a＝5的概率是________． 答案　 解析　由算法知輸出的a是a，b，c中最大的一個，若輸出的數(shù)為5，則這三個數(shù)中必須要有5，從集合A＝{1,2,3,4,5}中選三個不同的數(shù)共有10種取法：{1,2,3}

26、，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，滿足條件的有6種，所求概率為. [B級　知能提升] 1．[2017·山東高考]執(zhí)行兩次下圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為7，第二次輸入的x的值為9，則第一次、第二次輸出的a的值分別為(　　) A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0 答案　D 解析　當x＝7時，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x. 又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3. 此時b2＝9＞7＝x，∴退出循環(huán)，a＝1，∴輸出a＝1. 當x＝9時，∵b＝2，∴

27、b2＝4＜9＝x. 又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3. 此時b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循環(huán)，a＝0. ∴輸出a＝0.故選D. 2．[2018·湖南模擬]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為時，k是(　　) A．5 B．3 C．4 D．2 答案　A 解析　模擬執(zhí)行程序，可得每次循環(huán)的結果依次為： k＝2，k＝3，k＝4，k＝5，大于4，可得S＝sin＝，輸出S的值為.故選A. 3．[2018·西城期末]如圖所示的程序框圖運行后輸出結果為，則輸入的x值為(　　) A．－1 B. C. D．－1或 答案　D 解析　分析程序中各變量、各語句的作用

28、，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知： 該程序的作用是計算并輸出分段函數(shù) y＝的函數(shù)值． 當x≤0時，若y＝2x＝，則x＝－1， 當01，故輸出的S的最大值為2. 23