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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù)章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案 湘教版必修2
1.三角函數(shù)的概念
重點(diǎn)掌握以下兩方面內(nèi)容:
①理解任意角的概念和弧度的意義,能正確迅速進(jìn)行弧度與角度的換算.
②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定義,能正確快速利用三角函數(shù)值在各個象限的符號解題,能求三角函數(shù)的定義域和一些簡單三角函數(shù)的值域.
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
能用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值和三角恒等式的證明;能逆用公式sin2α+cos2α=1巧妙解題.
3.誘導(dǎo)公式
能用公式一至公式四將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù),利用“奇變偶不變,符號看象限”牢記所有誘導(dǎo)公式.
2、
善于將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式結(jié)合起來使用,通過這些公式進(jìn)行化簡、求值,達(dá)到培養(yǎng)推理運(yùn)算能力和邏輯思維能力提高的目的.
4.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y=sinx
y=cosx
y=tanx
圖象
定義域
R
R
,(k∈Z)
值域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
最值
x=2kπ+(k∈Z)時,ymax=1;
x=2kπ-(k∈Z)時,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)時,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)時,ymin=-1
無最大、最小值
周期性
周期T=2kπ+2π (k∈Z)
周期T=2kπ+2π
3、(k∈Z)
周期T=kπ+π(k∈Z)
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在2kπ-,2kπ+(k∈Z)上都是增函數(shù);在2kπ+,2kπ+(k∈Z)上都是減函數(shù)
在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù);在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上都是減函數(shù)
在每個區(qū)間(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函數(shù)
對稱性
軸對稱圖形,對稱軸方程是x=kπ+,k∈Z;中心對稱圖形,對稱中心(kπ,0)k∈Z
軸對稱圖形,對稱軸方程是x=kπ,k∈Z;中心對稱圖形,對稱中心k∈Z
中心對稱圖形,對稱中心(k∈Z)
5.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
(1)重點(diǎn)掌握“五
4、點(diǎn)法”,會進(jìn)行三角函數(shù)圖象的變換,能從圖象中獲取盡可能多的信息,如周期、半個周期、四分之一個周期等,如軸對稱、中心對稱等,如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與對稱中心之間位置關(guān)系等.能從三角函數(shù)的圖象歸納出函數(shù)的性質(zhì).
(2)牢固掌握三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性和對稱性.在運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題時,要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想將綜合性較強(qiáng)的試題完整準(zhǔn)確地進(jìn)行解答.
題型一 任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線,能夠利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值,利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號,借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域.
例
5、1 求函數(shù)y=+的定義域.
解 由題意知即
如圖,結(jié)合三角函數(shù)線知:
解得2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴函數(shù)的定義域?yàn)?
跟蹤演練1 設(shè)f(x)=.
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)的值域及取最大值時x的值.
解 (1)由1-2sinx≥0,根據(jù)正弦函數(shù)圖象知:
定義域?yàn)閧x|2kπ+π≤x≤2kπ+,k∈Z}.
(2)∵-1≤sinx≤1,∴-1≤1-2sinx≤3,
∵1-2sinx≥0,∴0≤1-2sinx≤3,
∴f(x)的值域?yàn)閇0,],
當(dāng)x=2kπ+,k∈Z時,f(x)取得最大值.
題型二 同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式
(
6、1)牢記兩個基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1及=tanα,并能應(yīng)用兩個關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.在應(yīng)用中,要注意掌握解題的技巧,同時要體會數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.
(2)誘導(dǎo)公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶規(guī)律是:奇變偶不變,符號看象限.其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化.若是奇數(shù)倍,則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)的異名函數(shù)(即正余互變);若是偶數(shù)倍,則函數(shù)名稱不變.符號看象限是指把α看成銳角時原函數(shù)值的符號作為結(jié)果的符號.
例2 已知=-4,求(sinθ-3cosθ)·(co
7、sθ-sinθ)的值.
解 方法一 由已知=-4,
∴2+tanθ=-4(1-tanθ),
解得tanθ=2.
∴(sinθ-3cosθ)(cosθ-sinθ)
=4sinθcosθ-sin2θ-3cos2θ
=
===.
方法二 由已知=-4,解得tanθ=2.
即=2,∴sinθ=2cosθ.
∴(sinθ-3cosθ)(cosθ-sinθ)=(2cosθ-3cosθ)(cosθ-2cosθ)=cos2θ===.
跟蹤演練2 已知α是三角形的內(nèi)角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)把用tanα表示出來,并求其值.
解 (1)方法一 聯(lián)立方程
8、
由①得cosα=-sinα,將其代入②,
整理得25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形內(nèi)角,∴sinα>0,∴
∴tanα=-.
方法二 ∵sinα+cosα=,∴(sinα+cosα)2=2,
即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<0且0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα=,
由得
∴tanα=-.
(2)==
=,
∵tanα=-,
∴===-.
題型三 三角函數(shù)的圖象及變換
三角
9、函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ),又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn).在平時的考查中,主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定,以及通過對圖象的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).具體要求:
(1)用“五點(diǎn)法”作y=Asin (ωx+φ)的圖象時,確定五個關(guān)鍵點(diǎn)的方法是分別令ωx+φ=0,,π,,2π.
(2)對于y=Asin (ωx+φ)+b的圖象變換,應(yīng)注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平移”的區(qū)別.
(3)由已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式時,常用的解題方法是待定系數(shù)法,由圖中的最大值或最小值確定A,由周期確定ω,由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定φ,
10、但由圖象求得的y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范圍,才能得出唯一的解,否則φ的值不確定,解析式也就不唯一.
例3 函數(shù)f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)α∈,f=2,求α的值.
解 (1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3,
∴A+1=3,即A=2,
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,
∴最小正周期T=π,∴ω=2,
故函數(shù)f(x)的解析式為y=2sin+1.
(2)f=2sin+1=2,即sin=,
∵0<α<,∴-<α-<,
11、
∴α-=,故α=.
跟蹤演練3 已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為( )
A.f(x)=2sin B.f(x)=cos
C.f(x)=2cos D.f(x)=2sin
答案 C
解析 由圖象知周期T=4π,則ω=,排除B、D;由f(0)=1,可排除A.
題型四 三角函數(shù)的性質(zhì)
三角函數(shù)的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)掌握y=sinx,y=cosx,y=tanx的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關(guān)性質(zhì),在此基礎(chǔ)上掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的相關(guān)性質(zhì).在研究其相關(guān)性質(zhì)時,將ωx+φ看成一個整體,利用整體
12、代換思想解題是常見的技巧.
例4 f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+2)=f(x),且f(x)在[-3,-2]上單調(diào)遞減,而α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,求證:f(sinα)>f(cosβ).
證明 ∵f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期為2.
∴f(x)在[-1,0]與[-3,-2]上的單調(diào)性相同.
∴f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減.∵f(x)是偶函數(shù),
∴f(x)在[0,1]上的單調(diào)性與[-1,0]上的單調(diào)性相反.
∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.①
∵α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,
∴α+β>,
∴α>-β,且α∈,-β∈.
又∵y=s
13、inx在上單調(diào)遞增,
∴sinα>sin=cosβ,
即sinα>cosβ.②
由①②,得f(sinα)>f(cosβ).
跟蹤演練4 已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時,-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a].
∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,
∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,
∴f(x)=-4sin-1,
g(
14、x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lgg(x)>0得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時,
g(x)單調(diào)遞減,
即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.
三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn),在復(fù)習(xí)時,要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描述函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.