2022年高考數(shù)學(xué) 必過關(guān)題11 直線和圓

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 必過關(guān)題11 直線和圓 一.填空題 【考點一】直線方程 1. (必修2第128頁復(fù)習(xí)第19題改編)已知點,直線斜率存在且過點,若與線段相交,則l的斜率k的取值范圍是 . 【答案】 [解析] ,由斜率和傾斜角的關(guān)系可得. 2. 課本原題(必修2第128頁復(fù)習(xí)第16題)過點P(1,2)作直線l,使直線l與點M(2,3)和點N(4,-5)距離相等,則直線l的方程為________________. 【答案】3x+2y-7=0或4x+y-6=0 [解析] 法一:斜率不存在不滿足題意,可設(shè)直線方程為, 所以,則有或,則或 法二:直線l為與MN

2、平行或經(jīng)過MN的中點的直線,當(dāng)l與MN平行時,斜率為-4,故直線方程為y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;當(dāng)l經(jīng)過MN的中點時,MN的中點為(3,-1),直線l的斜率為-,故直線方程為y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0 3.課本原題(必修2第128頁復(fù)習(xí)第5題)已知直線過點,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,求直線的方程. 改編:過點作直線l分別交x、y正半軸于A、B兩點, (1)當(dāng)面積最小時,直線l的方程為____________; (2)當(dāng)最小時,直線l的方程為____________. 【答案】(1) (2) [解析] 法一:由題意斜率存在,可設(shè)直線方程

3、為 令;令.所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時直線方程為. 法二:由題意截距不為0,可設(shè)直線方程為, 過點,有,所以,解得, 所以,此時,即 【考點二】圓的方程 4.經(jīng)過點,且與直線相切于點的圓的方程是______. 【答案】 [解析] 法一:設(shè)圓心為,則有,解得, 又可得. 法二:AB中垂線方程為,過點B且與直線l垂直的直線方程為, 它們的交點即為圓心. 【考點三】直線和圓的位置關(guān)系 5.過定點(1,0)一定可以作兩條直線與圓相切,則的取值范圍為 . 【答案】 [解析] 點(1,0)在圓外,還要注意構(gòu)成圓的條件. 6. 已知直

4、線與圓心為的圓相交于兩點,且為等邊三角形,則實數(shù)________.【答案】 [解析]由題設(shè)圓心到直線的距離為, 所以,解得. 7.若曲線y=1+ 與直線y=k(x-2)+4有兩個不同交點,則實數(shù)k的取值范圍是____. 【答案】<k≤ [解析]半圓x2+(y-1)2=4(y≥1)與過P(2,4)點,斜率為k的直線有兩個交點, 如圖:A(-2,1),kPA=,過P與半圓相切時,k=,∴

5、最值問題 9.已知圓分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M、N兩點,點P為圓C上任意一點,則的最大值為__________. 【答案】 [解析],設(shè),則, 法一:,可理解為點P到距離的平方,則的最大值為,所以的最大值為. 法二:,令,可得. 10. 在平面直角坐標(biāo)系中,圓C的方程為.若直線上存在點,使過所作的圓的兩條切線相互垂直,則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 [解析]由題設(shè)可得,直線上存在點,使得即可,則,則,可得. 二.解答題 11.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,和為兩等腰直角三角形,,C(a,0)(a>0).設(shè)和的外接圓圓心分別為,. (1)若⊙

6、M與直線CD相切,求直線CD的方程; (2)若直線AB截⊙N所得弦長為4,求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (3)是否存在這樣的⊙N,使得⊙N上有且只有三個點到直線 AB的距離為,若存在,求此時⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在, 說明理由. [解析](1)圓心.∴圓方程為, 直線CD方程為. ∵⊙M與直線CD相切,∴圓心M到直線CD的距離d=, 化簡得: (舍去負(fù)值).∴直線CD的方程為. (2)直線AB方程為:,圓心N . ∴圓心N到直線AB距離為. ∵直線AB截⊙N的所得弦長為4,∴. ∴a=±(舍去負(fù)值) . ∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (3)存在. 由

7、(2)知,圓心N到直線AB距離為(定值),且AB⊥CD始終成立, ∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N半徑,即a=4時,⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為. 此時, ⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 12.課本原題(必修2第112頁習(xí)題2.2第12題):已知點與兩個定點的距離之比為,那么點M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系?畫出滿足條件的點M所構(gòu)成的曲線. 改編1:(xx高考江蘇卷第13題)滿足條件的三角形的面積的最大值為 . 解析:法一(原解法):本小題考查三角面積公式、余弦定理及函數(shù)思想。設(shè)BC=x,則,根據(jù)面積公式得。 根據(jù)余弦定理得,代入上式得 由三角形三邊關(guān)系有 故當(dāng)時

8、,取得最大值。 法二:設(shè) 。 法三:設(shè) 。 改編2:(xx高考江蘇卷第17題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線方程; (2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 【答案】解:(1)由得圓心C為(3,2),∵圓的半徑為 ∴圓的方程為: 顯然切線的斜率一定存在,設(shè)所求圓C的切線方程為,即 ∴∴∴∴或者 ∴所求圓C的切線方程為:或者即或者 (2)解:∵圓的圓心在在直線上,所以,設(shè)圓心C為(a

9、,2a-4) 則圓的方程為: 又∵∴設(shè)M為(x,y)則整理得:設(shè)為圓D ∴點M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上 即:圓C和圓D有交點 ∴ 由得 由得 終上所述,的取值范圍為: [說明]:利用阿波羅尼斯圓進(jìn)行命題的經(jīng)典考題很多,最著名的當(dāng)屬高考中出現(xiàn)的這兩題.課本上雖未出現(xiàn)阿波羅尼斯圓的字眼,但是必修2教材上的這道習(xí)題已經(jīng)體現(xiàn)了這類問題的本質(zhì).如果我們平時能鉆研教材,對這道習(xí)題有所研究,那么我們的數(shù)學(xué)意識就會有所增強,再碰到此類問題時就會得心應(yīng)手. 13. 課本原題(必修2第117頁習(xí)題2.2第10題)求圓與圓的公共弦的長. 改編:如圖,已知O(0,0),E(,0),F(xiàn)(,0),圓F:.動點P滿足PE+PF=4.以P為圓心,OP為半徑的圓P與圓F的一個公共點為Q. x O y P F E Q (1)求點P的軌跡方程; (2)證明:點Q到直線PF的距離為定值,并求此值. [解析](1)由橢圓的定義可知點P的軌跡方程 (2)設(shè)圓P與圓F的另一個交點為T,設(shè), 則圓P方程為 則兩圓公共弦QT的方程為,點Q到直線PF的距離即為, 點F到QT的距離為=2, 所以點Q到直線PF的距離為1.

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