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1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第三十四講梯形教案2 北師大版與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用例1 如圖2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，DFEC交BC延長(zhǎng)線于F求證：四邊形EBFD是等腰梯形分析 因?yàn)镋，D是三角形ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，所以EDBF此外，還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF證 因?yàn)镋，D是ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，所以EDBF又已知DFEC，所以ECFD是平行四邊形，所以EC=DF 又E是RtABC斜邊AB上的中點(diǎn)，所以EC=EB 由，EB=DF下面證明E
2、B與DF不平行若EBDF，由于ECDF，所以有ECEB，這與EC與EB交于E矛盾，所以EBDF根據(jù)定義，EBFD是等腰梯形例2 如圖2-44所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度數(shù)分析 由于BCD是等腰三角形，若能確定頂點(diǎn)CBD的度數(shù)，則底角BCD可求由等腰RtABC可求知斜邊BC(即BD)的長(zhǎng)又梯形的高，即RtABC斜邊上的中線也可求出通過(guò)添輔助線可構(gòu)造直角三角形，求出BCD的度數(shù)解 過(guò)D作DEEC于E，則DE的長(zhǎng)度即為等腰RtABC斜邊上的高AF設(shè)AB=a，由于ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2
3、，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在RtBED中，從而EBD=30(直角三角形中30角的對(duì)邊等于斜邊一半定理的逆定理)在CBD中，例3 如圖2-45所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分線交BC于N，交AB延長(zhǎng)線于F，垂足為M求證：AD=BF分析 MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC由ADBC及ADC=135知，C=45，從而NDC=45，DNC=90，所以ABND是矩形，進(jìn)而推知BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF證 連接DN因?yàn)镹是線段DC的垂直平分線MF上的一點(diǎn)，所以ND=NC由已知，ADBC及ADC=13
4、5知C=45，從而NDC=45在NDC中，DNC=90(=DNB)，所以ABND是矩形，所以AFND，F(xiàn)=DNM=45BNF是一個(gè)含有銳角45的直角三角形，所以BN=BF又AD=BN，所以 AD=BF例4 如圖2-46所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中點(diǎn)若AD=2，BC=8，求ABE的面積分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的長(zhǎng)等于兩底長(zhǎng)之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(zhì)(這個(gè)性質(zhì)在教材中是梯形的重要性質(zhì)，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結(jié)論)取腰AB的中點(diǎn)F，(或BC)過(guò)A引AGBC于G，交EF于H，則AH，GH分別是AEF與BEF的高，
5、所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8這樣SABE(=SAEF+SBEF)可求解 取AB中點(diǎn)F，連接EF由梯形中位線性質(zhì)知EFAD(或BC)，過(guò)A作AGBC于G，交EF于H由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF在RtABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，所以 AG=8，從而 AH=GH=4，所以SABE=SAEF+SBEF例5 如圖2-47所示四邊形ABCF中，ABDF，1=2，AC=DF，F(xiàn)CAD(1)求證：ADCF是等腰梯形；(2)若ADC的周長(zhǎng)為16厘米
6、(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長(zhǎng)分析 欲證ADCF是等腰梯形歸結(jié)為證明ADCF，AF=DC，不要忘了還需證明AF不平行于DC利用已知相等的要素，應(yīng)從全等三角形下手計(jì)算等腰梯形的周長(zhǎng)，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能將ADC的周長(zhǎng)過(guò)渡到梯形的周長(zhǎng)解 (1)因?yàn)锳BDF，所以1=3結(jié)合已知1=2，所以2=3，所以EA=ED又 AC=DF，所以 EC=EF所以EAD及ECF均是等腰三角形，且頂角為對(duì)頂角，由三角形內(nèi)角和定理知3=4，從而ADCF不難證明ACDDFA(SAS)，所以 AF=DC若AFDC，則ADCF是平行四邊形，則AD=CF與FCAD矛盾，
7、所以AF不平行于DC綜上所述，ADCF是等腰梯形(2)四邊形ADCF的周長(zhǎng)=AD+DC+CF+AF 由于ADC的周長(zhǎng)=AD+DC+AC=16(厘米)， AF=3(厘米)， FC=AC-3， 將，代入四邊形ADCF的周長(zhǎng)=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)例6 如圖2-48所示等腰梯形ABCD中，ABCD，對(duì)角線AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分別是OA，BC，OD的中點(diǎn)求證：PQR是等邊三角形分析 首先從P，R分別是OA，OD中點(diǎn)知，欲證等邊三角形PQR的邊長(zhǎng)應(yīng)等于等腰梯形腰長(zhǎng)之半，為此，只需證明QR，QP等于腰長(zhǎng)之半即可注意到OAB與OCD均
8、是等邊三角形，P，R分別是它們邊上的中點(diǎn)，因此，BPOA，CROD在RtBPC與RtCRB中，PQ，RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線，因此，PQ=RQ=腰BC之半問(wèn)題獲解證 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)知，它的同一底上的兩個(gè)角及對(duì)角線均相等進(jìn)而推知，OAB=OBA及OCD=ODC又已知，AC與BD成60角，所以，ODC與OAB均為正三角形連接BP，CR，則BPOA，CROD在RtBPC與RtCRB中，PQ，RQ分別是它們的斜邊BC上的中線，所以又RP是OAD的中位線，所以因?yàn)?AD=BC， 由，得PQ=QR=RP，即PQR是正三角形說(shuō)明 本題證明引人注目之處有二
9、：(1)充分利用特殊圖形中特殊點(diǎn)所帶來(lái)的性質(zhì)，如正三角形OAB邊OA上的中點(diǎn)P，可帶來(lái)BPOA的性質(zhì)，進(jìn)而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質(zhì)(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀使PQR的三邊相等 練習(xí)十三1如圖2-49所示梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，BDCD求A的度數(shù)2如圖2-50所示梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，ABE的周長(zhǎng)=13厘米，AD=4厘米求梯形的周長(zhǎng)3如圖2-51所示梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，AB=p，CD=q，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)求EF4如圖2-52所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中點(diǎn)，MNAB于N，且MN=b，AB=a求梯形ABCD的面積5已知：梯形ABCD中，DCAB，A=36，B=54，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)求證：
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