2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2-13 定積分與微積分基本定理《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2-13 定積分與微積分基本定理《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn):了解定積分的概念及微積分基本定理的含義; 2.教學(xué)難點(diǎn):學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動 學(xué)生活動 設(shè)計(jì)意圖
2、 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義. 真題再現(xiàn); 1.(xx·湖北高考)若函數(shù)f(x),g(x)滿足-1f(x)g(x)dx=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù).給
3、出三組函數(shù):①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 ①-1f(x)g(x)dx=-1sinxcosxdx=-1sin xdx==0,故第①組是區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù);②-1f(x)g(x)dx=-1(x+1)(x-1)dx=-1(x2-1)dx==-≠0,故第②組不是區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù); ③-1f(x)g(x)dx=-1x·x2dx=-1x3dx==0,故第③組是區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù).綜
4、上,滿足條件的共有兩組.【答案】 C
2.(xx·天津高考)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為________.
【解析】 由得A(1,1).
故所求面積為S=∫10(x-x2)dx==.
【答案】
知識梳理:
知識點(diǎn)1 定積分的概念、幾何意義與性質(zhì)
1.定積分的定義及相關(guān)概念
一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0 5、數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx.
在f(x)dx中,a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.
2.定積分的幾何意義
f(x)
f(x)dx的幾何意義
f(x)≥0
表示由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積
f(x)<0
表示由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)
f(x)在[a,b]上有正有負(fù)
表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積
3.定積分的性質(zhì)
(1) 6、kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)).
(2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.
(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a 7、x=[f(x)-g(x)]dx.
(2)定積分與變速直線運(yùn)動的路程及變力做功間的關(guān)系,
s=v(t)dt,W=F(x)dx.
1.必會結(jié)論;設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù),則有
(1)若f(x)是偶函數(shù),則-af(x)dx=2f(x)dx;
(2)若f(x)是奇函數(shù),則-af(x)dx=0.
2.必知聯(lián)系
(1)被積函數(shù)若含有絕對值號,應(yīng)先去絕對值號,再分段積分.
(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.
(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要注意:面積非負(fù),而定積分的結(jié)果可以為負(fù).
考點(diǎn)分項(xiàng)突破
考點(diǎn)一:定積分的計(jì)算
1.(xx·江西高 8、考)若f(x)=x2+2f(x)dx,則f(x)dx=( )
A.-1 B.-
C. D.1
【解析】 ∵f(x)=x2+2f(x)dx,∴f(x)dx==+2f(x)dx,∴f(x)dx=-.
【答案】 B
2.若(2x+λ)dx=2(λ∈R),則λ等于( )
A.0 B.1
C.2 D.-1
【解析】 (2x+λ)dx=(x2+λx)=1+λ=2,所以λ=1.【答案】 B
3.設(shè)f(x)=則f(x)dx等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=x3+=+-=.
【答案】 C 9、
歸納:計(jì)算定積分的步驟
1.把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差.
2.把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分.
3.分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù).
4.利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值.
5.計(jì)算原始定積分的值.
考點(diǎn)二: 定積分在物理中的應(yīng)用
(1)一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=7-3t+(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是( )
A.1+25ln 5 B.8+25ln
C.4+25ln 5 D.4+50ln 10、 2
(2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上,使M沿x軸正向從x=1運(yùn)動到x=10,已知F(x)=x2+1且和x軸正向相同,則變力F(x)對質(zhì)點(diǎn)M所做的功為________J.
【解析】 (1)由v(t)=7-3t+=0,可得t=4,因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s,此期間行駛的距離為v(t)dt=dt==4+25ln 5.(2)W=∫F(x)dx=∫(x2+1)dx==342 J.
【答案】 (1)C (2)342
跟蹤訓(xùn)練:1.一物體作變速直線運(yùn)動,速度和時(shí)間關(guān)系為v(t)=(4-t2)m/s,則物體從0秒到4秒運(yùn)動經(jīng)過的路程為( )
A. m B.- m
C.16 m 11、 D.-16 m
【解析】 s=v(t)dt=(4-t2)dt==16-=- m.【答案】 B
2.一物體在變力F(x)=5-x2(力單位:N,位移單位:m)作用下,沿與F(x)成30°方向作直線運(yùn)動,則由x=1運(yùn)動到x=2時(shí)F(x)做的功為( )
A. J B. J
C. J D.2 J
【解析】 依題意可知,(F(x)×cos 30°)dx=dx==,
∴F(x)做的功為 J.【答案】 C
歸納:定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用
1.求變速直線運(yùn)動的位移:如果變速直線運(yùn)動物體的速度為v=v(t),那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程s=v(t)dt.
2.變力做功: 12、一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動到x=b時(shí),力F(x)所做的功是W=F(x)dx.當(dāng)力的方向與位移方向不一致時(shí),應(yīng)求出和位移方向同向的分力,再求其所做的功.
考點(diǎn)三: 利用定積分計(jì)算平面圖形的面積
●命題角度1 求平面圖形的面積
1.由曲線xy=1,直線y=x,y=3所圍成的封閉平面圖形的面積為________.
【解析】 由xy=1,y=3可得交點(diǎn)坐標(biāo)為.由xy=1,y=x可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),由y=x,y=3得交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),由曲線xy=1,直線y=x,y=3所圍成圖形的面積為dx+(3-x)dx=(3x-ln x)+=(3-1-ln 13、3)+=4-ln 3.【答案】 4-ln 3
2.(xx·陜西高考)
如圖,一橫截面為等腰梯形的水渠,因泥沙沉積,導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示),則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為________.
【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由拋物線過點(diǎn)(0,-2),(-5,0),(5,0),得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2,拋物線與x軸圍成的面積S1=-5dx=,梯形面積S2==16.最大流量比為S2∶S1=1.2.【答案】 1.2
●命題角度2 根據(jù)面積求參數(shù)
3.由曲線f(x)=與y軸及直線y=m(m>0)圍成的圖形的面積為,則m的值為( )
A.2 14、 B.3
C.1 D.8
【解析】 由題意知∫m20(m-)dx=,所以=,整理得m3=8,所以m=2.
【答案】 A
4.設(shè)a>0,若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,求a的值.
【解】
曲線y=,直線x=a,y=0所圍成封閉圖形面積如圖所示.即∫dx=x=a-0=a2,解得a=.
●命題角度3 與概率的綜合應(yīng)用
5.如圖,矩形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為O(0,0),A,B,C(0,1),記線段OC,CB以及y=sin x的圖象圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)為Ω,若向矩形OABC內(nèi)任意投一點(diǎn)M,求點(diǎn)M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率.
【解】 陰 15、影部分的面積是∫0(1-sin x)dx=-1,
矩形的面積是×1=,所以點(diǎn)M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為=1-.
歸納: 1.利用定積分求平面圖形面積的步驟
(1)根據(jù)題意畫出圖形.
(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限.
(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和.
(4)計(jì)算定積分,寫出答案.
2.根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的求解策略
先利用定積分求出平面圖形的面積,再據(jù)條件構(gòu)建方程(不等式)求解.
3.與概率綜合應(yīng)用的求解策略
先利用定積分求出平面圖形的面積,再根據(jù)幾何概型求解.
。
學(xué)生通過對高考真 16、題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。
學(xué)生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描,來澄清概念 17、,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).
在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題,教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢
18、
由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)
引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。
環(huán)節(jié)三:
課堂小結(jié):
1.了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.
2.了解微積分基本定理的含義.
學(xué)生回顧,總結(jié).
引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。
環(huán)節(jié)四:
課后作業(yè):學(xué)生版練與測
學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。
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