2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 變形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bs

2、in C＝csin B，asin C＝csin A (5)cos A＝ cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r. 3．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B

3、．(　√　) (2)若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(，2)．(　√　) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，則△ABC是等腰三角形．(　√　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(　×　) (5)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，三角形為鈍角三角形．(　×　) (6)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于.(　×　) 1．(xx·湖南改編)在銳角△ABC中，角A

4、，B所對的邊長分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝ . 答案　 解析　在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A為銳角，∴A＝. 2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B， ∴△ABC為鈍角三角形． 3．(xx·江西改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是

5、 ． 答案　 解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 4．(xx·廣東)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，則＝ . 答案　2 解析　方法一　因?yàn)閎cos C＋ccos B＝2b， 所以b·＋c·＝2b， 化簡可得＝2. 方法二　因?yàn)閎cos C＋ccos B＝2b， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，

6、故sin(B＋C)＝2sin B， 故sin A＝2sin B，則a＝2b，即＝2. 題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(xx·山東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解　(1)由余弦定理得： cos B＝＝＝， 即a2＋c2－4＝ac. ∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9. 由得a＝c＝3. (2)在△ABC中，cos B＝， ∴sin B＝＝ ＝. 由正弦定理得：＝， ∴sin A＝＝＝. 又A＝C，∴0

7、＝， ∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ＝×－×＝. 思維升華　(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷． 　(1)(xx·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，則cos A的值為

8、 ． (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，則c＝ . 答案　(1)－　(2) 解析　(1)由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c， 即b＝c. 又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c. 由余弦定理得cos A＝＝ ＝＝－. (2)在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝. ∵cos B＝>0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝. 由正弦定理知＝， ∴c＝＝＝. 題型二　利用

9、正弦、余弦定理判定三角形的形狀 例2　在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝， ∵0°

10、 ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝. ∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°

11、邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理． 　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

12、os Bsin A－sin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形． (2)∵cos2＝， ∴(1＋cos B)·c＝a＋c， ∴a＝cos B·c＝， ∴2a2＝a2＋c2－b2， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC為直角三角形． 題型三　和三角形面積有關(guān)的問題 例3　(xx·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大小； (2)若sin A＝，求△ABC的面積． 解　

13、(1)由題意得 －＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin. 由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得 2A－＋2B－＝π， 即A＋B＝，所以C＝. (2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝. 由a

14、式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． 　(1)(xx·課標(biāo)全國Ⅱ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為 ． (2)(xx·山東)在△ABC中，已知·＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為 ． 答案　(1)＋1　(2) 解析　(1)因?yàn)锽＝，C＝，所以A＝. 由正弦定理得＝，解得c＝2. 所以三角形的面積為bcsin A＝×2×2sin . 因?yàn)閟in ＝sin＝×＋× ＝， 所以bcsin A＝2×＝＋1. (2)已知A＝， 由題意得||||c

15、os ＝tan ， ||||＝， 所以△ABC的面積S＝||||sin ＝××＝. 三角變換不等價(jià)致誤 典例：在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 易錯(cuò)分析　(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形； (2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解； (3)結(jié)論表述不規(guī)范． 規(guī)范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·

16、b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

17、 ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 溫馨提醒　(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶樱缓筮M(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況. 方法與技巧 1．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)． 2．正弦、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，

18、如由正弦、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡或證明． 3．在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解． 失誤與防范 1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論． 2．利用正弦、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC＝ . 答案　2 解析　由正

19、弦定理得＝，所以AC＝＝＝2. 2．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，則a∶b∶c＝ . 答案　1∶∶2 解析　由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶∶2. 3．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝ . 答案　 解析　由條件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，

20、 ∴sin(A＋C)＝，從而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 4．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高為 ． 答案　 解析　設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sin B＝3×＝. 5．(xx·課標(biāo)全國Ⅱ改編)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝ . 答案　 解析　∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或. 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB

21、2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 6．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，則a＝ . 答案　 解析　根據(jù)正弦定理應(yīng)有＝， ∴a＝＝＝. 7．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝ . 答案　4或5 解析　設(shè)BC＝x，則由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－

22、2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5. 8．(xx·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于 ． 答案　2 解析　如圖所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2. 9．(xx·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理 ＝?＝＝， ∴cos A＝. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(2)2＋c2－2×2c×， 則c2－8c＋1

23、5＝0. ∴c＝5或c＝3. 當(dāng)c＝3時(shí)，a＝c，∴A＝C. 由A＋B＋C＝π，知B＝，與a2＋c2≠b2矛盾． ∴c＝3舍去．故c的值為5. 10．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 解　(1)由·＝2得c·acos B＝2. 又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13. 解得或 因?yàn)閍>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝＝

24、 ＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝. 因?yàn)閍＝b>c，所以C為銳角， 因此cos C＝＝ ＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C ＝×＋×＝. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：20分鐘) 1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝ . 答案　 解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a， ∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， ∴sin B＝sin A，∴＝＝. 2．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，則

25、a＝ . 答案　2 解析　由tan A＝2得sin A＝2cos A. 又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝. ∵b＝5，B＝， 根據(jù)正弦定理，有＝， ∴a＝＝＝2. 3．(xx·江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是 ． 答案　 解析　由sin A＋sin B＝2sin C， 結(jié)合正弦定理得a＋b＝2c. 由余弦定理得cos C＝ ＝＝ ≥＝， 故≤cos C<1， 故cos C的最小值為. 4．(xx·浙江)在△AB

26、C中，C＝90°，M是BC的中點(diǎn)．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝ . 答案　 解析　因?yàn)閟in∠BAM＝， 所以cos∠BAM＝. 如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝. 在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM， 所以＝sin(∠BAC－∠BAM)． 化簡，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 所以2tan∠BAC－1＝tan2∠BAC＋1， 解得tan∠BAC＝. 再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝. 5．已知△ABC的

27、三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對的邊b＝，且函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期； (2)求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列， 所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， 所以B＝，即A＋C＝. 因?yàn)閒(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－ ＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x ＝2sin， 所以T＝＝π. 又因?yàn)閟in∈[－1,1]， 所以f(x)的值域?yàn)閇－2,2]． (2)因?yàn)閒(x)在x＝A處取得最大值， 所以sin＝1. 因?yàn)?