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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第三十五講中位線及其應(yīng)用教案1 北師大版中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用例1 如圖2-53所示ABC中，ADBC于D，E，F(xiàn)，ABC的面積分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出ABC的高AD及底邊BC的長解 由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，所以，EF是ABD的一條中位線，所以由條件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點，所以EG是ABC的一
2、條中位線，所以BC=2EG=26=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以例2 如圖 2-54 所示ABC中，B，C的平分線BE，CF相交于O，AGBE于G，AHCF于H(1)求證：GHBC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH分析 若延長AG，設(shè)延長線交BC于M由角平分線的對稱性可以證明ABGMBG，從而G是AM的中點；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點，從而GH就是AMN的中位線，所以GHBC，進(jìn)而，利用ABC的三邊長可求出GH的長度(1)證 分別延長AG，AH交BC于M，N，在ABM中，由已知，BG平分ABM，BGAM，所以ABGMBG(ASA)從而，G是
3、AM的中點同理可證ACHNCH(ASA)，從而，H是AN的中點所以GH是AMN的中位線，從而，HGMN，即HGBC(2)解 由(1)知，ABGMBG及ACHNCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)從而MN=18-4-9=5(厘米)，說明 (1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”(2)“等腰三角形
4、三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊”同學(xué)們不妨自己證明(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“B，C的平分線”改為“B(或C)及C(或B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“B，C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GHBC仍然成立同學(xué)們也不妨試證例3 如圖2-57所示P是矩形ABCD內(nèi)的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A，B，C，D分別是AP，PB，BQ，QA的中點求證：AC=BD分析 由于A，B，C，D分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的
5、中點，有經(jīng)驗的同學(xué)知道ABCD是平行四邊形，AC與BD則是它的對角線，從而四邊形ABCD應(yīng)該是矩形利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點證 連接AB，BC，CD，DA，這四條線段依次是APB，BPQ，AQB，APQ的中位線從而ABAB，BCPQ，CDAB，DAPQ，所以，ABCD是平行四邊形由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以ABBC，BCPQ從而ABPQ，所以 ABBC，所以四邊形ABCD是矩形，所以AC=BD 說明 在解題過程中，人們的經(jīng)驗?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴大已知的作用如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經(jīng)驗，對尋求思路起了不小的作用因此注意歸
6、納總結(jié)，積累經(jīng)驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的例4 如圖2-58所示在四邊形ABCD中，CDAB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點求證：分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點證 取AD中點G，連接EG，F(xiàn)G，在ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點)，所以同理，由F，G分別是BD和AD的中點，從而，F(xiàn)G是ABD的中位線，所以在EFG中，EFEG-FG 由，例5 如圖2-59所示梯形ABCD中，ABCD，E為BC的中點，AD=DC+AB求證：DEAE分析 本題等價于證明AED是直角三角形，其中AED=90在E點(即直角三角形
7、的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解證 取梯形另一腰AD的中點F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以因為AD=AB+CD，所以從而1=2，3=4，所以2+3=1+4=90(ADE的內(nèi)角和等于180)從而AED=2+3=90，所以 DEAE例6 如圖2-60所示ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1求證：AA1+EE1=FF1+DD1分析 顯然ADEF是平行四邊形，對角線的交點O平分這兩條對角線，OO1恰是兩個梯形
8、的公共中位線利用中位線定理可證證 連接EF，EA，ED由中位線定理知，EFAD，DEAF，所以ADEF是平行四邊形，它的對角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1練習(xí)十四1已知ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，AE=2CE，CD，BE交于O點，OE=2厘米求BO的長2已知ABC中，BD，CE分別是ABC，ACB的平分線，AHBD于H，AFCE于F若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長3已知在ABC中，ABAC，ADBC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點求證：BFE=EGD4如圖2-61所示在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，延長AD，BC，分別交FE的延長線于H，G求證：AHF=BGF5在ABC中，AHBC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(如圖2-62所示)求證：DEF=HFE6如圖2-63所示D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q求證：AP=AQ7已知在四邊形ABCD中，ADBC，E，F(xiàn)分別是AB，CD
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