2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第50課 線面平行與面面平行要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第50課 線面平行與面面平行要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 線面平行的判定與證明 　 如圖(1),在等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF,求證:DE∥平面BCF. 　 　 圖(1) 圖(2)(例1) [思維引導(dǎo)]將平面圖形折成空間圖形要弄清折前折后不變的關(guān)系,如=. [證明]在等邊三角形ABC中,AD=AE, 所以=,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,所以DE∥BC. 因?yàn)镈E?平面BCF,BCì平面BCF,

2、 所以DE∥平面BCF. 　(xx·山東卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn),求證:AP∥平面BEF. (變式1) [證明]設(shè)AC∩BE=O,連接OF,CE. 由于E為AD的中點(diǎn), AB=BC=AD,AD∥BC. 所以AE∥BC,AE=AB=BC, 因此四邊形ABCE為菱形, 所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 又F為PC的中點(diǎn), 因此在△PAC中,AP∥OF. 又OFì平面BEF,AP?平面BEF, 所以AP∥平面BEF. 　如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥

3、AB,AB=2,CD=3,點(diǎn)M,N分別是PA,PB的中點(diǎn). (變式2) (1) 求證:MN∥平面PCD; (2) 求證:四邊形MNCD是直角梯形. [證明](1) 因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是PA,PB的中點(diǎn), 所以MN∥AB. 因?yàn)镃D∥AB,所以MN∥CD. 又因?yàn)镃D ì平面PCD,MN ?平面PCD, 所以MN∥平面PCD. (2) 因?yàn)镸N=AB=1,ED=3, 所以MN≠CD,又MN∥CD, 所以四邊形MNCD是梯形. 因?yàn)锳D⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD, 又因?yàn)镻D⊥底面ABCD,CDì平面ABCD, 所以CD⊥PD,又AD∩PD=D, 所以CD⊥

4、平面PAD. 因?yàn)镸Dì平面PAD,所以CD⊥MD, 所以四邊形MNCD是直角梯形. 線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用 　(xx·泰州模擬改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中點(diǎn),F為線段AC上一點(diǎn).若EF∥平面PBD,求的值. (例2) [思維引導(dǎo)]通過線面平行的性質(zhì),將空間的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面PAC中,通過EF∥PO來確定點(diǎn)F的位置,求出的值. [解答]設(shè)AC∩BD=O,連接PO. 因?yàn)镋F∥平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD∩平面PAC=PO,且EFì平面PAC,所以EF∥PO, 又E是PC的中點(diǎn),所以O(shè)F=FC,AF=3FC,

5、 即=3. 　在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,BC,CD,DA上,且四邊形EFGH為平行四邊形,求證:AC∥平面EFGH. (變式) [證明]如圖,因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形,所以EF∥HG. 又HGì平面ACD,EF?平面ACD, 所以EF∥平面ACD. 又EFì平面ABC,平面ABC∩ 平面ADC=AC,所以EF∥AC. 又EFì平面EFGH,AC?平面EFGH, 所以AC∥平面EFGH. 面面平行的判定 　(xx·江蘇模擬)如圖,在四棱錐E-ABCD中,△ABD為正三角形,EB=ED,且AB⊥BC,M,N分別為線段AE,AB的中點(diǎn)

6、,求證:平面DMN∥平面BEC. (例3) [思維引導(dǎo)]分別證MN∥平面BCE和BC∥平面BCE,再利用面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明. [證明]因?yàn)镹是AB的中點(diǎn),△ABD為正三角形, 所以DN⊥AB. 因?yàn)锽C⊥AB,所以DN∥BC. 因?yàn)锽Cì平面BCE,DN?平面BCE,所以BC∥平面BCE. 又因?yàn)镸為AE的中點(diǎn),所以MN∥BE. 因?yàn)镸N?平面BCE,BEì平面BCE,所以MN∥平面BCE, 因?yàn)镸N∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE. [精要點(diǎn)評(píng)]在利用面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明時(shí),不能直接根據(jù)DN∥BC 和MN∥BE得出平面DMN∥平面BEC. 　

7、如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分別是AA1,BB1,B1C1的中點(diǎn),求證:平面ABC1∥平面MNQ. (變式) [證明]在△B1BC1中,因?yàn)镹,Q分別為B1B,B1C1的中點(diǎn),所以QN∥BC1, 又因?yàn)镼N?平面ABC1,BC1ì平面ABC1, 所以QN∥平面ABC1. 在矩形A1B1BA中,因?yàn)镸,N分別為AA1,BB1的中點(diǎn), 所以MN∥AB,又MN?平面ABC1,ABì平面ABC1, 所以MN∥平面ABC1. 又因?yàn)镼N∩MN=N,QN,MNì平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面ABC1. 直線與平面平行的探索問題 　(xx·四川卷)在如圖

8、所示的多面體中,四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.設(shè)D,E分別是線段BC,CC1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE∥平面A1MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論. (例4) [思維引導(dǎo)]對(duì)于求某個(gè)特殊位置上的點(diǎn)這類問題,一種辦法是由猜想定下點(diǎn)的位置,后證明;另一種辦法是可先假定存在這個(gè)點(diǎn),然后再根據(jù)點(diǎn)的特點(diǎn)找到這個(gè)點(diǎn)所滿足的條件. [解答]線段AB上存在點(diǎn)M,且M為AB的中點(diǎn),使得直線DE∥平面A1MC.證明如下: 取線段AB的中點(diǎn)M,連接A1M,MC,A1C,AC1,連接MD,OE,OM. 設(shè)O為A1C,AC1的交點(diǎn), 則MD,OE分別為△ABC,△ACC1的中位線,

9、所以MD∥AC,且MD=AC, OE∥AC,且OE=AC, 所以MDOE. 從而四邊形MDEO為平行四邊形, 所以DE∥MO. 因?yàn)橹本€DE?平面A1MC,MOì平面A1MC, 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在點(diǎn)M,使得直線DE∥平面A1MC. [精要點(diǎn)評(píng)]“探索”在于由未知到已知,由變化到確定.找平行關(guān)系時(shí)多借助中點(diǎn)、中位線、平行四邊形等圖形,此題的本質(zhì)仍是線與面的平行關(guān)系. 　(xx·蚌埠模擬)在如圖所示的幾何體中,平面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB. (變式) (1) 求證:AC⊥平面

10、FBC. (2) 線段AC上是否存在點(diǎn)M,使EA∥平面FDM?并證明你的結(jié)論. [解答](1) 在△ABC中,AC=,AB=2,BC=1, 所以AC⊥BC. 又因?yàn)?AC⊥FB,BC∩FB=B, 所以AC⊥平面FBC. (2) 線段AC上存在點(diǎn)M,且M為AC中點(diǎn)時(shí),有EA∥ 平面FDM.證明如下: 連接CE,與DF交于點(diǎn)N,連接MN. 因?yàn)镃DEF為正方形,所以N為CE中點(diǎn), 所以 EA∥MN. 因?yàn)镸Nì平面FDM,EA?平面FDM, 所以EA∥平面FDM. 所以線段AC上存在點(diǎn)M,使得EA∥平面FDM. 在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠

11、ACB=90°,EA⊥平面ABC,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是線段AD的中點(diǎn),求證:GM∥平面ABFE. (范題賞析) [思維引導(dǎo)]要證明直線GM與平面ABFE平行,就要在平面ABFE內(nèi)找到一條直線與GM平行.本題可以考慮構(gòu)造四邊形AMGF,然后再證明其為平行四邊形即可. [規(guī)范答題]連接AF,因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC, 所以△ABC∽△EFG.(4分) 由AB=2EF, 得BC=2FG. 所以FG∥BC,則FG=BC. (6分) 在平行四邊形ABCD中,M是線段AD的中點(diǎn), 所以AM∥BC,且AM=BC. (8分) 所以FG∥

12、AM,且FG=AM, 所以四邊形AFGM為平行四邊形, 所以GM∥FA.(10分) 又FAì平面ABFE,GM?平面ABFE, 所以GM∥平面ABFE.(14分) 1. 平面α內(nèi)的兩條直線a,b都平行于平面β,則α和β的位置關(guān)系是　　　　　　. [答案]平行或相交 2. 若直線a∥b,a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系為　　　　. [答案]b∥α或bìα [解析]很容易漏掉bìα的情況,這一點(diǎn)很值得注意. 3. (xx·泰州中學(xué)模擬)給出下列命題: ①如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直; ②如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都

13、平行,那么這兩個(gè)平面相互平行; ③如果兩條平行直線中的一條垂直于直線m,那么另一條直線也與直線m垂直; ④如果兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直. 其中,真命題有　　　　.(填序號(hào)) [答案]①③④ [解析]由面面垂直的判定定理可知①正確;如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行,但若是兩條平行直線,得不到平面平行,故②錯(cuò)誤;根據(jù)空間直線夾角的定義,可得兩條平行直線與第三條直線的夾角相等,故若兩條平行直線中的一條垂直于直線m,那么另一條直線也與直線m垂直,即③正確;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面

14、內(nèi)與它們的交線垂直的直線與另一個(gè)平面也垂直,則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直,故④正確. 4. (xx·濟(jì)南期末)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為D1C的中點(diǎn).若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),求證:直線ME∥平面ADD1A1. (第4題) [證明]取DD1的中點(diǎn)N,連接MN,AN, 則MN∥CD,且MN=CD,AE∥CD,且AE=CD, 所以MNAE, 所以四邊形MNAE為平行四邊形,故ME∥AN. 因?yàn)锳Nì平面ADD1A1,ME?平面ADD1A1, 所以ME∥平面AD1. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第99-100頁(yè)).