2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和習題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第2講 等差數(shù)列及其前n項和習題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a7=-8,a2=2,則數(shù)列{an}的公差d等于________. 解析 法一 由題意可得 解得a1=5,d=-3. 法二 a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4, ∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3. 答案?。? 2.(xx·重慶卷)在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=________. 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6=2a4-a2=2×2-4=0. 答案 0 3.設(shè)Sn為等差數(shù)列{a

2、n}的前n項和,S2=S6,a4=1,則a5=________. 解析 由題意知 解得∴a5=a4+d=1+(-2)=-1. 答案?。? 4.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37=________. 解析 設(shè){an},{bn}的公差分別為d1,d2,則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2, ∴{an+bn}為等差數(shù)列,又a1+b1=a2+b2=100, ∴{an+bn}為常數(shù)列,∴a37+b37=100. 答案 100 5.(xx·沈陽質(zhì)量檢測)設(shè)Sn為等差數(shù)

3、列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=________. 解析 法一 由等差數(shù)列前n項和公式可得 Sn+2-Sn=(n+2)a1+d-=2a1+(2n+1)d=2+4n+2=36,∴n=8. 法二 由Sn+2-Sn=an+2+an+1=a1+a2n+2=36,因此a2n+2=a1+(2n+1)d=35,解得n=8. 答案 8 6.(xx·蘇北四市調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-,且a1=5,設(shè){an}的前n項和為Sn,則使得Sn取得最大值的序號n的值為________. 解析 由題意可知數(shù)列{an}是首項為5,公差為-的等差數(shù)列,所以a

4、n=5-(n-1)=,該數(shù)列前7項是正數(shù)項,第8項是0,從第9項開始是負數(shù)項,所以Sn取得最大值時,n=7或8. 答案 7或8 7.(xx·陜西卷)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2 015,則該數(shù)列的首項為________. 解析 設(shè)該數(shù)列的首項為a1,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+2 015=2×1 010,從而a1=5. 答案 5 8.正項數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N*,n≥2),則a7=________. 解析 由2a=a+a(n∈N*,n≥2),可得數(shù)列{a}是等差數(shù)列,公差d=a-a=3,首項a=1,所以a=1+3(n-1)=3

5、n-2,∴an=,∴a7=. 答案  二、解答題 9.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3. 解得d=-2.從而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n. 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35,可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7. 10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前

6、n項和為Sn,若a1<0,S2 015=0. (1)求Sn的最小值及此時n的值; (2)求n的取值集合,使其滿足an≥Sn. 解 (1)設(shè)公差為d,則由S2 015=0? 2 015a1+d=0?a1+1 007d=0, d=-a1, ∴Sn=na1+d=na1-· =(2 015n-n2). ∵a1<0,n∈N*, ∴當n=1 007或1 008時,Sn取最小值504a1. (2)an=a1, Sn≤an?(2 015n-n2)≤a1. ∵a1<0,∴n2-2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得1≤n≤2 016. 故所求n的

7、取值集合為{n|1≤n≤2 016,n∈N*}. (建議用時:20分鐘) 11.(xx·東北三省四市聯(lián)考)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,則最小的一份為________. 解析 依題意,設(shè)這100份面包所分成的五份由小到大依次為a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,則有 解得a=20,m=,a-2m==,即其中最小一份為. 答案  12.(xx·南通二模)在等差數(shù)列{an}中,已知首項a1>0,公差d>0.若a1+a2≤60,a2+a3≤100,則5a1+a5

8、的最大值為________. 解析 由題設(shè) 則5a1+a5=6a1+4d. 設(shè)6a1+4d=λ(2a1+d)+μ(2a1+3d)=2(λ+μ)a1+(λ+3μ)d. 所以得 所以6a1+4d≤60×+100×=200. 答案 200 13.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意自然數(shù)n都有=,則+的值為________. 解析 ∵{an},{bn}為等差數(shù)列, ∴+=+==. ∵====,∴=. 答案  14.(xx·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數(shù)列”. (

9、1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”; (2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項a1=1,公差d<0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值; (3)證明:對任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立. (1)證明 首先a1=S1=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,所以an=所以對任意的n∈N*,Sn=2n是數(shù)列{an}中的n+1項,因此數(shù)列{an}是“H數(shù)列”. (2)解 由題意an=1+(n-1)d,Sn=n+d,數(shù)列{an}是“H數(shù)列”,則存在k∈N*,使n+d=1+(k-1)d,k=++1,由于∈N*,又k∈N*,則∈Z對一切正整數(shù)n都成立,所以d=-1. (3)證明 首先,若dn=bn(b是常數(shù)),則數(shù)列{dn}前n項和為Sn=b是數(shù)列{dn}中的第項,因此{dn}是“H數(shù)列”,對任意的等差數(shù)列{an},an=a1+(n-1)d(d是公差),設(shè)bn=na1,cn=(d-a1)(n-1),則an=bn+cn,而數(shù)列{bn},{cn}都是“H數(shù)列”,證畢.

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