2022年高中數(shù)學(xué) 錯(cuò)誤解題分析 2-3-2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 錯(cuò)誤解題分析 2-3-2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則m的值為 (  ). A.- B.-4 C.4 D. 解析 由雙曲線方程mx2+y2=1,知m<0,則雙曲線方程可化為y2-=1,則a2=1, a=1,又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-,故選A. 答案 A 2.雙曲線3x2-y2=3的漸近線方程是

2、 (  ). A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析 令x2-=0,則y=±x. 答案 C 3.已知中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3),離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (  ). A.-=1 B.-=1 C.-=1

3、 D.-=1 解析 由離心率為,∴e2===1+=2,即a=b, ∴雙曲線為等軸雙曲線,故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=λ(λ≠0),又點(diǎn)P(1,3) 在雙曲線上,則λ=1-9=-8, ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選D. 答案 D 4.與雙曲線x2-=1有共同的漸近線,且過(guò)點(diǎn)(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________. 解析 依題意設(shè)雙曲線的方程x2-=λ(λ≠0),將點(diǎn)(2,2)代入求得λ=3,所以所求雙 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1. 答案?。? 5.雙曲線+=1的離心率e∈(1,2),則k的取值范圍是________. 解

4、析 雙曲線方程可變?yōu)椋?,則a2=4,b2=-k,c2=4-k,e==, 又∵e∈(1,2),則1<<2,解得-12

5、 (  ). A. B. C. D.2 解析 由題意知,這條漸近線的斜率為,即=, 而e====,故選A. 答案 A 8.若00,b2+k>0,所以a2-

6、k+b2+k=a2+b2=c2. 所以兩雙曲線有相同的焦點(diǎn). 答案 D 9.若雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸,離心率e=,則其漸近線方程為_(kāi)_______. 解析 由已知設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0). 由e=,得e2===1+=. ∴=,則=, ∴漸近線方程為y=±x=±x. 答案 y=±x 10.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ,點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn),若∠PF1Q=90°,則雙曲線的離心率等于________. 解析 設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),由題意知在焦點(diǎn)三角形F1PF2中,|PF1| =2c,|PF2|=2c, 又|PF1|-|PF2|

7、=2a,故有e=+1. 答案?。? 11.求與雙曲線-=1共漸近線且過(guò)A(3,-3)的雙曲線的方程. 解 設(shè)與-=1共漸近線且過(guò)A(3,-3)的雙曲線的方程為-=λ,則-=λ,從而有λ=,所求雙曲線的方程為-=1. 12.(創(chuàng)新拓展)已知點(diǎn)N(1,2),過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線x2-=1于A、B兩點(diǎn),且= (+). (1)求直線AB的方程; (2)若過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線于C、D兩點(diǎn),且·=0,那么A、B、C、D四點(diǎn)是否 共圓?為什么? 解 (1)由題意知直線AB的斜率存在. 設(shè)直線AB:y=k(x-1)+2,代入x2-=1 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-

8、2=0. (*) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2是方程(*)的兩根, ∴2-k2≠0. 且x1+x2=. ∵=(+), ∴N是AB的中點(diǎn), ∴=1, ∴k(2-k)=-k2+2,k=1, ∴直線AB的方程為y=x+1. (2)共圓.將k=1代入方程(*)得 x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3, ∴A(-1,0),B(3,4). ∵·=0,∴CD垂直AB, ∴CD所在直線方程為 y=-(x-1)+2, 即y=3-x,代入雙曲線方程整理得x2+6x-11=0, 令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中點(diǎn)M(x0,y0) 則x3+x4=-6,x3·x4=-11, ∴x0==-3,y0=6, 即M(-3,6). |CD|=|x3-x4| = =4, |MC|=|MD|=|CD|=2, |MA|=|MB|=2, 即A、B、C、D到M的距離相等, ∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

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