2021高考數(shù)學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合教學案 文 北師大版

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1、 第1章 集合與常用邏輯用語 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 說明：“Ⅰ1”指全國卷Ⅰ第1題，“Ⅱ1”指全國卷Ⅱ第1題，“Ⅲ1”指全國卷Ⅲ第1題. 1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2個小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn). 2.考查內(nèi)容 從考查內(nèi)容來看，集合主要考查集合的運算，包含集合的交、并、補集運算；常用邏輯用語主要考查充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”以及全稱量詞與存在量詞. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①集合的交、并、補集運算問題； ②充分條件、必要條件的判斷問題； ③含有“且”“或”“非”的命

2、題的真假性的判斷問題； ④含有一個量詞的命題的否定問題. (2)重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用. 第一節(jié)　集合 [最新考綱]　1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算． (對應學生用書第1頁) 1．集合與

3、元素 (1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或表示． (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 記法 基本 關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A?x∈B AB或BA 真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A AB，存在x0∈B，x0A AB或BA 基本

4、關(guān)系 相等 集合A，B的元素完全相同 AB，BA?A＝B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x，A 3.集合的基本運算 表示 運算　　 文字語言 符號語言 圖形語言 記法 交集 屬于A且屬于B的元素組成的集合 {x|x∈A且x∈B} A∩B 并集 屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合 {x|x∈A或x∈B} A∪B 補集 全集U中不屬于A的元素組成的集合 {x|x∈U，xA} UA 1．集合子集的個數(shù) 對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個

5、數(shù)為2n－2. 2．集合的運算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?BA. (2)交集的性質(zhì)：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?AB. (3)補集的性質(zhì)：A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A；U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個集合都至少有兩個子集． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1. (　　) (4)直線y＝x

6、＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．{a}A　　　　 B．a(chǎn)A C．{a}∈A D．a(chǎn)A D　[由題意知A＝{0,1,2}，由a＝，知aA.] 2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個數(shù)為________． 64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N的子集有26＝64個．] 3．已知U＝{α|0°＜α＜1

7、80°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則U(A∪B)＝________. [答案]　{x|x是直角} 4．方程組的解集為________． 　[由得 故方程組的解集為.] 5．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________. (－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．] (對應學生用書第2頁) ⊙考點1　集合的概念 　與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路 (1)確定集合的元素

8、是什么，即集合是數(shù)集還是點集． (2)看清元素的限制條件． (3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)． 　1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　) A．9 B．8　　　　 C．5　　 D．4 A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數(shù)為9，故選A.] 2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． －　[由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 則m＝1或m＝－. 當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝

9、3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當m＝－時，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－.] 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________. 0或　[當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.] 4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 020＋b2 020＝________. 1　[由已知得a≠0，則＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.] (1)求

10、解此類問題時，要特別注意集合中元素的互異性，如T2，T4.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題，如T3. ⊙考點2　集合的基本關(guān)系 　判斷兩集合關(guān)系的方法 (1)列舉法：用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系． (2)化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達式比較復雜，往往需化簡表達式，再尋求兩個集合的關(guān)系． (1)(2019·唐山模擬)設集合M＝{x|x2－x＞0}，N＝，則(　　) A．MN　　　 B．NM C．M＝N D．M∪N＝R (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為(　　)

11、A．1 B．2 C．3　　　　 D．4 (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，則實數(shù)m的取值范圍為________． (1)C　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)集合M＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，N＝＝{x|x＞1或x＜0}，所以M＝N.故答案為C. (2)因為A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，ACB，則集合C可以為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個． (3)因為BA， 所以①若B＝，則2m－1＜m＋1，此時m＜2. ②若B≠，則解得2≤m≤3. 由①②可

12、得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．] [母題探究] 1．(變問法)本例(3)中，若BA，求m的取值范圍． [解]　因為BA， ①若B＝，成立，此時m＜2. ②若B≠，則且邊界點不能同時取得，解得2≤m≤3. 綜合①②，m的取值范圍為(－∞，3]． 2．(變問法)本例(3)中，若AB，求m的取值范圍． [解]　若AB，則即所以m的取值范圍為. 3．(變條件)若將本例(3)中的集合A改為A＝{x|x＜－2或x＞5}，試求m的取值范圍． [解]　因為BA， 所以①當B＝時，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合題意． ②當B≠時，或 解得或即m＞4. 綜上可知，實數(shù)

13、m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)． (1)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題． (2)空集是任何集合的子集，當題目條件中有BA時，應分B＝和B≠兩種情況討論． 　1.設M為非空的數(shù)集，M{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有(　　) A．6個　　　B．5個　　　C．4個　　　D．3個 A　[由題意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6個．] 2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}

14、，且BA，則實數(shù)m的取值范圍為________． [－2,2)　[①若B＝，則Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合題意； ②若1∈B，則12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意； ③若2∈B，則22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此時B＝，不合題意． 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．] ⊙考點3　集合的基本運算 　集合運算三步驟 　集合的運算 (1)(2019·全國卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩UA＝(　　) A．{1,6}　 B．{1,7} C．{6,7}

15、D．{1,6,7} (2)(2019·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，2) C．(－1,2) D． (3)(2019·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(　　) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2} (1)C　(2)C　(3)A　[(1)由題意知UA＝{1,6,7}，又B＝{2,3,6,7}，∴B∩UA＝{6,7}，故選C. (2)∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，即A∩B＝

16、(－1,2)． 故選C. (3)由題意可知B＝{x|－1≤x≤1}， 又∵A＝{－1,0,1,2}， ∴A∩B＝{－1,0,1}， 故選A.] [逆向問題]　 已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{9}，則A＝(　　) A．{1,3}　 B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} D　[法一：(直接法)因為A∩B＝{3}，所以3∈A，又(UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，則5B(否則5∈A∩B)，從而5∈UB，則(UB)∩A＝{5,9}，與題中條件矛盾，故5A.同理，1A,7A，故A＝{3,9}． 法二：

17、(Venn圖)如圖所示． ] 　集合運算的常用方法 (1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解． (2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況． 　利用集合的運算求參數(shù) (1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于(　　) A．0或　 B．0或3 C．1或 D．1或3 (2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,2) B．(－∞，2] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)B　(2)D　[(1)由A∪B＝A，得BA，所以m∈A.因為A＝{1

18、,3，}，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0. 由集合中元素的互異性知m≠1，故選B. (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠，結(jié)合數(shù)軸可得a＞－1. ] 　利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 (1)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解． (2)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到． 提醒：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足集合中元素的互異性)． [教師備選例題] 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2

19、，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個數(shù)為(　　) A．77　　　B．49　　　C．45　　　D．30 C　[如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點“”，集合B表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”，集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點)，則集合AB表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”＋所有圓點“”，共45個．故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.] 2．設集合A

20、＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，設函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1，因為函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1圖像的對稱軸為直線x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2，所以有 即所以 即≤a＜.故選B.] 　1.(2019·許昌、洛陽三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0,1)，則A∩B＝(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．

21、(－1,1) D．[－1,1] A　[由題意得A＝[－1,1]，又B＝(0,1)，∴A∩B＝(0,1)．故選A.] 2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] C　[因為A∩B≠，所以結(jié)合數(shù)軸(圖略)可知實數(shù)a的取值范圍是a＜3，故選C.] 3．如圖，設全集U＝N，集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{2,4} B．{7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5} A　[由題圖可知陰影部分表示的集合為(UA)∩B，因為集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，U＝N，所以(UA)∩B＝{2,4}．故選A.] 4．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，則a＝________. 3　[因為A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3.] - 10 -