2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量

上傳人:xt****7 文檔編號:105413772 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?30.52KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1.α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等. 任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè)α是任意一個角,P(x,y)是α的終邊上的任意一點(異于原點),它與原點的距離是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點P的位置無關(guān). [問題1] 已知角α的終邊經(jīng)過點P(3,-4),則sin α+cos α的值為________. 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公

2、式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關(guān)系:tan α=. (3)誘導(dǎo)公式記憶口訣:奇變偶不變、符號看象限 角 -α π-α π+α 2π-α -α 正弦 -sin α sin α -sin α -sin α cos α 余弦 cos α -cos α -cos α cos α sin α 3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)五點法作圖; (2)對稱軸:y=sin x,x=kπ+,k∈Z;y=cos x,x=kπ,k∈Z; 對稱中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,,k∈Z;y=tan x,,k∈Z.

3、(3)單調(diào)區(qū)間: y=sin x的增區(qū)間: (k∈Z), 減區(qū)間: (k∈Z); y=cos x的增區(qū)間: (k∈Z), 減區(qū)間:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); y=tan x的增區(qū)間: (k∈Z). (4)周期性與奇偶性: y=sin x的最小正周期為2π,為奇函數(shù);y=cos x的最小正周期為2π,為偶函數(shù);y=tan x的最小正周期為π,為奇函數(shù). 易錯警示:求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,容易出現(xiàn)以下錯誤: (1)不注意ω的符號,把單調(diào)性弄反,或把區(qū)間左右的值弄反; (2)忘掉寫+2kπ,或+kπ等,忘掉寫k∈Z; (3)書寫單調(diào)區(qū)間時,錯把弧度和角

4、度混在一起.如[0,90°]應(yīng)寫為. [問題3] 函數(shù)y=sin的遞減區(qū)間是________________. 4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin βsin 2α=2sin αcos α. cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin βcos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan(α±β)=. cos2α=,sin2α=,tan 2α=. 在三角的恒等變形中,注意常見的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), α=[(α+β

5、)+(α-β)]. α+=(α+β)-,α=-. [問題4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,則cos=________. 5.解三角形 (1)正弦定理:===2R(R為三角形外接圓的半徑).注意:①正弦定理的一些變式:(ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A=,sin B=,sin C=;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形兩邊及一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解,要結(jié)合具體情況進行取舍.在△ABC中A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bc

6、cos A,cos A=等,常選用余弦定理判定三角形的形狀. [問題5] 在△ABC中,a=,b=,A=60°,則B=________. 6.向量的平行與垂直 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,則a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b (a≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 0看成與任意向量平行,特別在書寫時要注意,否則有質(zhì)的不同. [問題6] 下列四個命題:①若|a|=0,則a=0;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a∥b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確命題是________. 7.向量的數(shù)量積 |a|2=

7、a2=a·a, a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, cos θ==, a在b上的投影=|a|cos〈a,b〉==. 注意:〈a,b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向; 〈a,b〉為直角?a·b=0且a、b≠0; 〈a,b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向. 易錯警示:投影不是“影”,投影是一個實數(shù),可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零. [問題7] 已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,則向量a在向量b上的投影為________. 8.當(dāng)a·b=0時,不一定得到a⊥b,當(dāng)a⊥b時,a·b=0;a·b=c·b,不能得到a=c,消去律不成立;(a·b)c與a(b·c)不一

8、定相等,(a·b)c與c平行,而a(b·c)與a平行. [問題8] 下列各命題:①若a·b=0,則a、b中至少有一個為0;②若a≠0,a·b=a·c,則b=c;③對任意向量a、b、c,有(a·b)c≠a(b·c);④對任一向量a,有a2=|a|2.其中正確命題是________. 9.幾個向量常用結(jié)論 (1)++=0?P為△ABC的重心; (2)·=·=·?P為△ABC的垂心; (3)向量λ(+) (λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心; (4)||=||=||?P為△ABC的外心. 易錯點1 忽視角的范圍 例1 已知sin α=,sin β=,且α,β為銳角,則α+β=___

9、_____. 錯因分析 只考慮α,β為銳角. 沒有注意到 sin α=,sin β=本身對角的范圍的限制,造成錯解. 解析 因為α,β為銳角,所以cos α==, cos β==. 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=. 又因為0<α+β<π,所以α+β=. 答案  易錯點2 圖象平移把握不準(zhǔn) 例2 已知函數(shù)f(x)=sin(2x+),為了得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,只要將y=f(x)的圖象(  ) A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度 錯因分析?、贈]有將f

10、(x),g(x)化為同名函數(shù);②平移時看2x變成了什么,而沒有認(rèn)識到平移過程只是對“x”而言. 解析 g(x)=sin(2x+)=sin[2(x+)+], ∴y=f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)=g(x)的圖象. 答案 A 易錯點3 三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤 例3 求函數(shù)y=sin(-)的單調(diào)區(qū)間. 錯因分析 由于受思維定勢的影響,本題容易出現(xiàn)仍然按照函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的判斷方法進行,如認(rèn)為當(dāng)x滿足2kπ-≤-x≤2kπ+(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞增,就會求錯函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 原函數(shù)變形為y=-sin(-),令u=-,則只需求y=sin u

11、的單調(diào)區(qū)間即可,所以y=sin u在2kπ-≤-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)上單調(diào)遞增;y=sin u在2kπ+≤u=-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ+≤x≤3kπ+π(k∈Z)上單調(diào)遞減. 故y=sin(-)=-sin u的單調(diào)遞減區(qū)間為[3kπ-,3kπ+](k∈Z),單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ+,3kπ+](k∈Z). 易錯點4 解三角形忽視檢驗 例4 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=1,c=. (1)若角C=,則角A=________; (2)若角A=,則b=________. 錯因分析 在用正弦定理解三角形時,易出現(xiàn)漏解或

12、多解的錯誤,如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大,在求得sin A==后,得出角A=或;在第(2)問中沒有考慮角C有兩解,由sin C==,只得出角C=,所以角B=,解得b=2,這樣就出現(xiàn)漏解的錯誤. 解析 (1)由正弦定理=, 得sin A==, 又a<c,所以A<C.所以A=. (2)由=, 得sin C==,得C=或, 當(dāng)C=時,B=,可得b=2; 當(dāng)C=時,B=,此時得b=1. 答案 (1) (2)2或1 易錯點5 忽視向量共線致誤 例5 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是____________________

13、____________________________________________________. 錯因分析 誤認(rèn)為θ為銳角?cos θ>0,沒有排除θ=0即兩向量同向的情況. 解析 由θ為銳角,有0b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 3.

14、(xx·東北三校聯(lián)考)已知sin αcos α=,則cos2(α+)的值為(  ) A. B. C. D. 4.函數(shù)y=2sin(-2x)(x∈[-π,0])的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.[-π,-] B.[-,0] C.[-,-] D.[-,-] 5.函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分圖象如圖所示,那么f(0)等于(  ) A.- B.-1 C.- D.- 6.在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為(  )

15、A. B. C. D.- 7.(xx·陜西省五校第一次聯(lián)考)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,點M在AB邊上,且AM=AB,則·等于(  ) A.- B. C.-1 D.1 8.在△ABC中,B=60°,AC=,則AB+2BC的最大值為________. 9.如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖象的一部分,A,B是圖象上的一個最高點和一個最低點,O為坐標(biāo)原點,則·的值為________. 10.(xx·天津)已知函數(shù)f(x)=cos x·sin(x+)-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周

16、期; (2)求f(x)在閉區(qū)間[-,]上的最大值和最小值. 學(xué)生用書答案精析 3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量 要點回扣 [問題1]?。? [問題2]?。? [問題3] (k∈Z) [問題4]?。? [問題5] 45° [問題6] ④ [問題7]  [問題8]?、? 查缺補漏 1.D [因為角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5, 所以cos α==-.] 2.C [∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°, c=tan 35°=, 又0b>a.] 3.C [∵sin αcos α=, ∴sin

17、 2α=2sin αcos α=, ∴cos2(α+)====.] 4.C [因為y=2sin(-2x)=-2sin(2x-), 所以函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞減區(qū)間. 由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), 解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 即函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [+kπ,+kπ](k∈Z) 又x∈[-π,0],所以k=-1, 故函數(shù)y=2sin(-2x)(x∈[-π,0])的單調(diào)遞增區(qū)間為[-,-].] 5.B [由題圖可知,函數(shù)的最大值為2,因此A=2. 又因為函數(shù)經(jīng)過點, 則2sin=

18、2, 即2×+φ=+2kπ,k∈Z, 得φ=-+2kπ,k∈Z. f(0)=2sin φ=2sin=-1.] 6.C [∵cos C==, 又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2. ∴cos C≥.∴cos C的最小值為.] 7.D [=+=+, 又=+, 所以·=(+)·(+)=2 +2+·=1+-· =-||·||cos 60°=-×1×2×=1.] 8.2 解析 由正弦定理知==, ∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又A+C=120°,∴AB+2BC =2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2

19、cos 120°sin C) =2(sin C+cos C+sin C) =2(2sin C+cos C)=2sin(C+α), 其中tan α=,α是第一象限角, 由于0°<C<120°, 且α是第一象限角, 因此AB+2BC有最大值2. 9.π2-1 解析 由題意可知A(,1),B(,-1),·=×+1×(-1)=π2-1. 10.解 (1)由已知, 有f(x)=cos x·(sin x+cos x)-cos2x+ =sin x·cos x-cos2x+ =sin 2x-(1+cos 2x)+ =sin 2x-cos 2x=sin(2x-). 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因為f(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù), f(-)=-,f(-)=-, f()=, 所以,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.

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