2022年高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)（理）試題

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1、2022年高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)（理）試題 高三數(shù)學(xué)(理科) 考 生 須知 1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共 150分,考試時(shí)間為120分鐘 。 2. 第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題直接寫在答題卡上的指定位置，在試卷上作答無效。 3. 考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷按學(xué)校要求自己保存好。 第I卷 選擇題（共40分） 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)，直接涂在答題卡上。 1.已知集合 （ ） （A） （B）（C）（D） 【答案】C 【解析】，

2、因?yàn)?，則或，選C. 2.如果，那么“”是“”的 （ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以，即，所以。所以“”是“”的必要不充分條件，選B. 3.如圖，是圓的切線，切點(diǎn)為，交圓于兩點(diǎn)，，則=( ) （A）（B） （C）（D） 【答案】B 【解析】連結(jié)，則因?yàn)闉榍芯€，所以，所以，即圓的半徑為1，在直角三角形中，所以，，所以為正三角形，所以，選B. 4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

3、若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)的極坐標(biāo)可以是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，，所以，設(shè)極角為 θ，則，所以，（因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限）所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)，選A. 5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為 （ ） （A）5（B）6 （C）7 （D）8

4、 【答案】C 【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，； 第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，； 第五次循環(huán)，；第六次循環(huán)，；第七次循環(huán)，滿足條件，輸出，選C. 6.已知函數(shù)，則對(duì)任意，若，下列不等式成立的是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，，所以。當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以，選D. 7.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B

5、 【解析】由圓的方程可知圓心坐標(biāo)為，半徑為。圓心到直線的距離。又,因?yàn)椋?，即，解得，即的取值范圍是，選B. 8.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn),分別在軸、軸正半軸上移動(dòng)，則的最大 值是 （ ） （A）（B） （C）（D）4 【答案】A 【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，則，所以，，即，同理，。所以，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為2，選A. 第II卷 非選擇題(共110分） 二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30

6、分。把答案填在答題卡上的指定位置。 9.是虛數(shù)單位，則__. 【答案】 【解析】. 10. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 . 【答案】 【解析】由三視圖可知該幾何體是底面是正方體，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。底面邊長(zhǎng)為1，高為2，所以四棱錐的體積為。 11．已知函數(shù)（>0, ）的圖象如圖所示，則__，=__. 【答案】,; 【解析】由圖象可知，，即，又，所以。所以。又，即，所以。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，。 12.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不

7、同的安排方法有 種. 【答案】120 【解析】分兩步計(jì)算；第一步，先安排甲學(xué)校參觀，因?yàn)榧讓W(xué)校連續(xù)參觀兩天，從7天中找連續(xù)的兩天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有種方法．第二步，安排另兩所學(xué)校，因?yàn)榱韮伤鶎W(xué)校各參觀一天，從剩下的5天中任選2天，有種方法．最后，兩步方法數(shù)相乘，共有種方法． 13.設(shè)是定義在上不為零的函數(shù)，對(duì)任意，都有，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍是 . 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以令，得，即。因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以。所以，即，所以的前項(xiàng)和的取值范

8、圍是，即。 14. 是拋物線的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，則：①若且，則的值為；②（用和表示）. 【答案】① ；②或 【解析】設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)。過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，代入得。①當(dāng)時(shí)，方程為，所以，解得。又，所以。②由①知，則，所以，即。 三、解答題：本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程. 15．（本小題共13分） 已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是,，，, . （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面積. 16.（本小題共13分） 今年雷鋒日，某中學(xué)從高中三個(gè)年級(jí)選派

9、4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)雷鋒志愿者，學(xué)生的名額分配如下： 高一年級(jí) 高二年級(jí) 高三年級(jí) 10人 6人 4人 （I）若從20名學(xué)生中選出3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生的概率； （II）若將4名教師安排到三個(gè)年級(jí)（假設(shè)每名教師加入各年級(jí)是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到高一年級(jí)的教師人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 17.（本小題共14分） 在直三棱柱中，=2 ,.點(diǎn)分別是 ,的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn). （I）求證：平面； (II)若//平面，試確定點(diǎn)的位置，并給出證明； (III)求二面角的余弦值. 18．（本小

10、題共13分） 已知函數(shù)． （I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （II）求函數(shù)的極值； （III）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍． 19.（本小題共14分） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為． （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的取值范圍． 20．（本小題共13分） 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． （I）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （II）設(shè)拋物線列,中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率

11、為，求：； （III）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求的通項(xiàng)公式． 北京市房山區(qū)xx高三第一次模擬試題參考答案 高三數(shù)學(xué)(理科) 一、選擇題（每題5分，共40分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D B A 二、填空題（每題5分，共30分） 9．; 10. ; 11. ,; 12. 120； 13. ; 14. ① ；②或 三、解答題（寫出必要的文字說明，計(jì)算或證明過程。共80分） 15．（本小題共13分） 解：（I）解

12、 ……………………5分 （II）由（I）知 ， ……………………7分 ∴ ∴ ……………………10分 ∴ ……………………13分 16．（本小題共13分） 解：（I）設(shè)“他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生”為事件，則 答：若從選派的學(xué)生中任選3人進(jìn)行文明交通宣傳活動(dòng)，他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生的概率為.

13、 ………………………4分 （II）解法1：的所有取值為0，1，2，3，4.由題意可知，每位教師選擇高一年級(jí)的概率均為.所以 ………………………6分 ; ; ;; . ………………………11分 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 4 ………………………12分 所以……………………13分

14、解法2：由題意可知，每位教師選擇高一年級(jí)的概率均為. …………………5分 則隨機(jī)變量服從參數(shù)為4，的二項(xiàng)分布，即～.……………7分 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 4 所以 …………………13分 17．（本小題共14分） (I) 證明：∵在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴ …………………………1分 ,, ∴⊥平面 ………………………2分 平面 ∴，即 …………………3分 又 ∴平面 …………………………………4分 （II）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，//

15、平面.……………………………5分 證明如下: 連結(jié),取的中點(diǎn)H，連接, 則為的中位線 ∴∥，…………………6分 ∵由已知條件，為正方形 ∴∥， ∵為的中點(diǎn)， ∴ ……………………7分 ∴∥，且 ∴四邊形為平行四邊形 ∴∥ 又 ∵ ……………………8分 ∴//平面 ……………………9分 (III) ∵ 直三棱柱且 依題意，如圖：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，……………………10分 ,,,,

16、 則， 設(shè)平面的法向量， 則,即， 令，有 ……………………12分 又平面的法向量為， ==， ……………………13分 設(shè)二面角的平面角為，且為銳角 ． ……………………14分 18．（本小題共13分） 解：（I）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，， ……………………2分 由得，即 解得或， 又， 的單調(diào)遞減區(qū)間為．

17、 ……………………4分 （II）， （1）時(shí)，恒成立 在上單調(diào)遞增，無極值. ……………………6分 （2）時(shí)，由于 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 從而． ……………………9分 （III）由（II）問顯然可知， 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)， 在區(qū)間不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn)． ……………………10分 當(dāng)時(shí)，由（II）問知， 又，為的一個(gè)零點(diǎn)． ……………………11分 若在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，只需 即 ……………………13分 （注明：如有其它解法，酌情給分） 19．（本小題共14分） 解：（I

18、）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，則離心率為 故，而，解得， ……………………4分 故所求橢圓的方程為. ……………………5分 （II）設(shè)，P為弦MN的中點(diǎn)， 由 得 ， 直線與橢圓相交， ，① …………7分 ，從而， （1）當(dāng)時(shí) (不滿足題目條件) ∵，則 ，即 ， ② …………………………9分 把②代入①得 ，解得 ， …………………………10分 由②得，解得．故 ………………………11分 （2）當(dāng)時(shí) ∵直線是平行于軸的一條直線， ∴

19、 …………………………13分 綜上，求得的取值范圍是． …………………………14分 20．（本小題共13分） 解：（I） …………………………2分 …………………………3分 （II）的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為： …………………………5分 把代入上式，得， 的方程為：. …………………………7分 當(dāng)時(shí)， = …………………………9分 （III）， T中最大數(shù). …………………………10分 設(shè)公差為，則，由此得 ………………………13分 ………………………11分