2022年高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象（3）教案

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象（3）教案 教學(xué)目的： 1會(huì)用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋)的圖象； 2會(huì)用圖象變換的方法畫y＝Asin(ωx＋)的圖象； 3會(huì)求一些函數(shù)的振幅、周期、最值等 教學(xué)重點(diǎn)： 1 “五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋)的圖象； 2圖象變換過程的理解； 3一些相關(guān)概念 教學(xué)難點(diǎn)：多種變換的順序 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．振幅變換:y=Asinx，x?R(A>0且A11)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(

2、00且ω11)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若ω<0則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖ω決定了函數(shù)的周期 3 相位變換: 函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時(shí))或向右(當(dāng)＜0時(shí)＝平行移動(dòng)｜｜個(gè)單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”) 二、講解新課

3、： 例1 畫出函數(shù)y＝3sin(2x＋)，x∈R的簡圖 解：(五點(diǎn)法)由T＝，得T＝π 列表： x – 2x+ 0 π 2π 3sin(2x+ 0 3 0 –3 0 描點(diǎn)畫圖： 左移個(gè)單位 這種曲線也可由圖象變換得到： 縱坐標(biāo)不變 橫坐標(biāo)變?yōu)楸? 即：y＝sinx y＝sin(x＋) 縱坐標(biāo)變?yōu)?倍 橫坐標(biāo)不變 y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋) 一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的圖象，可以看

4、作用下面的方法得到： 先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時(shí))或向右(當(dāng)＜0時(shí)＝平行移動(dòng)｜｜個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時(shí))或伸長(當(dāng)0＜ω＜1時(shí))到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A＞1時(shí))或縮短(當(dāng)0＜A＜1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變) 另外，注意一些物理量的概念: A ：稱為振幅；T＝：稱為周期；f＝：稱為頻率； ωx＋：稱為相位x＝0時(shí)的相位 稱為初相 評(píng)述：由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的

5、圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換 先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0),再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個(gè)單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象 例2已知如圖是函數(shù)y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的圖象，那么 Aω＝，＝ Bω＝，＝－ Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－ 解析：由圖可知，點(diǎn)(0，1)和點(diǎn)(，0)都是圖象上的點(diǎn)將點(diǎn)(0，1)的坐標(biāo)代入待定的函數(shù)式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝ 又由“五點(diǎn)法”作

6、圖可知，點(diǎn)(，0)是“第五點(diǎn)”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故選C 解此題時(shí)，若能充分利用圖象與函數(shù)式之間的聯(lián)系，則也可用排除法來巧妙求解，即： 解：觀察各選擇答案可知，應(yīng)有ω＞0 觀察圖象可看出，應(yīng)有T＝＜2π，∴ω＞1 ，故可排除A與B 由圖象還可看出，函數(shù)y＝2sin(ωx＋)的圖象是由函數(shù)y＝2sinωx的圖象向左移而得到的 ∴＞0，又可排除D，故選C 例3已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)函數(shù)取得最大值2，當(dāng)x＝時(shí)函數(shù)取得最小值－2，則該函數(shù)的解析式為( ) Ay＝2sin(3x－) By

7、＝2sin(3x＋) Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－) 解析：由題設(shè)可知，所求函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)(，2)和點(diǎn)(，－2)都是圖象上的點(diǎn)，且由“五點(diǎn)法”作圖可知，這兩點(diǎn)分別是“第二點(diǎn)”和“第四點(diǎn)”，所以應(yīng)有： 解得 答案：B 由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式： 一般來說，在這類由圖象求函數(shù)式的問題中，如對(duì)所求函數(shù)式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正負(fù)，角的范圍等)，那么所求的函數(shù)式應(yīng)有無數(shù)多個(gè)不同的形式(這是由于所求函數(shù)是周期函數(shù)所致)，因此這類問題多以選擇題的形式出現(xiàn)，我們解這類題的方法往往因題而異，但逆用“五點(diǎn)法”作圖的思想?yún)s滲透在

8、各不同解法之中 三、課堂練習(xí)： 1已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)(2，)，由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)的圖象與x軸交于點(diǎn)(6，0)，試求函數(shù)的解析式 解：由已知可得函數(shù)的周期T＝4×(6－2)＝16 ∴ω＝＝ 又A＝ ∴y＝sin(x＋) 把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)· ∴sin(＋)＝1，而0＜＜2π ∴＝ ∴所求解析式為：y＝sin(x＋) 2已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值－2，當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值2，求函數(shù)的解析式 分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的圖

9、象易知A的值，在同一周期內(nèi)，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的距離即，由此可求ω的值，再將最高(或低)點(diǎn)坐標(biāo)代入可求 解：由題意A＝2，＝－ ∴T＝π＝，∴ω＝2 ∴y＝2sin(2x＋)又x＝時(shí)y＝2 ∴2＝2sin(2×＋) ∴＋＝ ＜ ∴＝ ∴函數(shù)解析式為：y＝2sin(2x＋) 3若函數(shù)y＝f(x)的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝sinx的圖象，則有y＝f(x)是( ) Ay＝sin(2x＋)＋1 By＝sin(2x－)＋1 Cy＝s

10、in(2x－)＋1 Dy＝sin(x＋)＋1 解析：由題意可知 y＝f［ (x＋)］－1＝sinx 即y＝f［ (x＋)］＝sinx＋1 令 (x＋)＝ｔ，則x＝2ｔ－ ∴f(ｔ)＝sin(2ｔ－)＋1 ∴f(x)＝sin(2x－)＋1 答案：B 4函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象，可由y＝sinx的圖象經(jīng)過下述哪種變換而得到 ( ) 答案：B A向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍 B向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍 C向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍 D向

11、左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍 四、小結(jié) 平移法過程： 作y=sinx（長度為2p的某閉區(qū)間） 得y=sin(x+φ) 得y=sinωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的圖象，先在一個(gè)周期閉區(qū)間上再擴(kuò)充到R上 沿x軸平 移|φ|個(gè)單位 橫坐標(biāo) 伸長或縮短 橫坐標(biāo)伸 長或縮短 沿x軸平 移||個(gè)單位 縱坐標(biāo)伸 長或縮短 縱坐標(biāo)伸 長或縮短 兩種方法殊途同歸 (1) y=sinx相位變換y=sin(x+φ)周期變換y=sin(ωx

12、+φ)振幅變換 （2）y=sinx周期變換 y=sinωx相位變換 y=sin(ωx+φ)振幅變換 圖a 五、課后作業(yè)： 1如圖a是周期為2π的三角函數(shù)y＝f（x）的圖象，那么f（x）可以寫成( ) Asin（1＋x) Bsin（－1－x） 圖b Csin（x－1） Dsin（1－x） 2如圖b是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）＋2的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ) AA＝3，Ｔ＝，φ＝－ 圖c BA＝1，Ｔ＝，φ＝－ CA＝1，Ｔ＝，φ＝－ 圖d DA＝1，Ｔ＝，φ＝－ 3如圖c是函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的

13、圖象的一段，它的解析式為( ) A B 圖e C D 4函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)，有yｍax＝2，當(dāng)x＝0時(shí)，有ymin＝－2，則函數(shù)表達(dá)式是 圖f 5如圖d是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段圖象，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式為 6如圖e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段圖象，則f（x）的表達(dá)式為 7如圖f所示的曲線是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的一部分，求這個(gè)函數(shù)的解

14、析式 圖g 8函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值為，當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值－，求此函數(shù)的解析式 9已知f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x－θ）為偶函數(shù)，求θ的值 圖h 10．由圖g所示函數(shù)圖象，求y＝Asin（ωx＋φ） （｜φ｜＜π）的表達(dá)式 選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法 11．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的圖象如圖h，求函數(shù)的表達(dá)式 選題意圖：考查數(shù)形結(jié)合的思想方法 參考答案： 1D 2B 3D 4y＝2sin(3x－) 52sin(3x＋) 6 7y＝2sin(2x＋) 8

15、y＝ 9θ＝kπ－，k∈Z 10 解：由圖象可知A＝2 又（－，0）為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn) 因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝ 因此所求函數(shù)表達(dá)式為y＝2sin(2x＋) 說明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的過程中，A由函數(shù)的最值確定，ω由函數(shù)的周期確定，φ可通過圖象的平移或“五點(diǎn)法”作圖的過程確定 11 解：由函數(shù)圖象可知A＝1 函數(shù)的周期為T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8 ∴ω＝ 又(－1，1)為“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn) 即（－1）＋φ＝，∴φ＝ ∴所求函數(shù)表達(dá)式為y＝sin（x＋） 說明：如果利用點(diǎn)(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象上，得到 ，則很難確定函數(shù)關(guān)系式中的A、ω、φ 六、板書設(shè)計(jì)（略） 七、課后記：