2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版
《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第七節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) [最新考綱] 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn),會(huì)畫底數(shù)為2,10,的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù). (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè)) 1.對(duì)數(shù) 概念 如果ab=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作logaN=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 性質(zhì) a=N logaa
2、b=b(a>0,且a≠1) 換底 公式 換底公式:logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 運(yùn)算 法則 loga(M·N)=logaM+logaN a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga=logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) 定義 函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖像 a>1 0<a<1 性質(zhì) 定義域:(0,+∞) 值域:R 當(dāng)x=1時(shí),y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0) 當(dāng)0<x<1時(shí),y<0; 當(dāng)x>1時(shí),y>0 當(dāng)0<x<1時(shí),y>0; 當(dāng)x>1時(shí)
3、,y<0 在(0,+∞)上為增函數(shù) 在(0,+∞)上為減函數(shù) 3.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱. 1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)loga b=;(2)logambn=loga b. 其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R且m≠0. 2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大. 一、思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×
4、”) (1)函數(shù)y=log2(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù). ( ) (2)log2x2=2log2x. ( ) (3)函數(shù)y=ln與y=ln(1+x)-ln(1-x)的定義域相同. ( ) (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,0),且過(guò)點(diǎn)(a,1),,函數(shù)圖像不在第二、三象限. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改編 1.(log29)·(log34)=( ) A. B. C.2 D.4 D [(log29)·(log34)=×=×=4.故選D.] 2.已知a=2,b=log2,c=log,則(
5、 ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.c>b>a D.c>a>b D [因?yàn)?<a<1,b<0,c=log=log2 3>1.所以c>a>b.故選D.] 3.函數(shù)y=的定義域是________. [由log(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1. ∴<x≤1. ∴函數(shù)y=的定義域是.] 4.函數(shù)y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的圖像恒過(guò)點(diǎn)________. (3,1) [當(dāng)4-x=1即x=3時(shí),y=loga1+1=1. 所以函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(3,1).] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1 對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)拆:首
6、先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡(jiǎn),然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并. (2)合:將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算. 1.設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m等于( ) A. B.10 C.20 D.100 A [由已知,得a=log2m,b=log5m, 則+=+=logm2+logm5=logm10=2. 解得m=.] 2.計(jì)算:lg -lg 25÷100=________. -20 [原式=(lg 2-2-lg 52)×100=lg×10=lg 10-2×10=
7、-2×10=-20.] 3.計(jì)算:=________. 1 [原式= = ====1.] 4.已知log23=a,3b=7,則log2的值為_(kāi)_______. [由題意3b=7,所以log3 7=b. 所以log 2=log ====.] 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的,因此經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論.在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),必須保證恒等變形. ⊙考點(diǎn)2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的識(shí)別及應(yīng)用方法 (1)在識(shí)別函數(shù)圖像時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng). (2)一些對(duì)數(shù)型
8、方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法求解. (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=,y=loga (a>0,且a≠1)的圖像可能是( ) A B C D (2)當(dāng)0<x≤時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是( ) A. B. C.(1,) D.(,2) (1)D (2)B [(1)對(duì)于函數(shù)y=loga,當(dāng)y=0時(shí),有x+=1,得x=,即y=loga的圖像恒過(guò)定點(diǎn),排除選項(xiàng)A、C;函數(shù)y=與y=loga在各自定義域上單調(diào)性相反,排除選項(xiàng)B,故選D. (2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x和g(x)=l
9、ogax,當(dāng)a>1時(shí)不滿足條件,當(dāng)0<a<1時(shí),畫出兩個(gè)函數(shù)在上的圖像,可知f<g,即2<loga,則a>,所以a的取值范圍為.] [母題探究] 1.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2-logax<0對(duì)x∈恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解] 由x2-logax<0得x2<logax,設(shè)f1(x)=x2,f2(x)=logax,要使x∈時(shí),不等式x2<logax恒成立,只需f1(x)=x2在上的圖像在f2(x)=logax圖像的下方即可.當(dāng)a>1時(shí),顯然不成立; 當(dāng)0<a<1時(shí),如圖所示. 要使x2<logax在x∈上恒成立,需f1≤f2,所以有≤loga,解得a≥,所以≤a<
10、1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,1). 2.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)0<x≤時(shí),<logax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解] 若<logax在x∈(0,]成立,則0<a<1,且y=的圖像在y=logax圖像的下方,如圖所示, 由圖像知<loga, 所以解得<a<1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 1.(2019·合肥模擬)函數(shù)y=ln(2-|x|)的大致圖像為( ) A B C D A [令f(x)=ln(2-|x|),易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|-2<x<2},且f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=
11、f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除選項(xiàng)C,D. 當(dāng)x=時(shí),f=ln <0,排除選項(xiàng)B,故選A.] 2.已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖像如圖,則下列結(jié)論成立的是( ) A.a(chǎn)>1,c>1 B.a(chǎn)>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 D [由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換知0<a<1,0<c<1.] 3.設(shè)方程10x=|lg(-x)|的兩個(gè)根分別為x1,x2,則( ) A.x1x2<0 B.x1x2=0 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 D [作出y=10x與y=|lg(-x)|
12、的大致圖像,如圖. 顯然x1<0,x2<0. 不妨令x1<x2,則x1<-1<x2<0, 所以10=lg(-x1),10=-lg(-x2), 此時(shí)10<10,即lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故選D.] ⊙考點(diǎn)3 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)定義域,所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論. (2)底數(shù)與1的大小關(guān)系. (3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的. 比較大小 (1)(2019·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a
13、,b,c的大小關(guān)系為( ) A.a(chǎn)<c<b B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.c<a<b (2)已知a=log2e,b=ln 2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為( ) A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b (1)A (2)D [(1)因?yàn)閍=log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=>,0.50.2<1,所以a<c<b,故選A. (2)因?yàn)閍=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log=log23>log2e>1,所以c>a>b,故選D.] 對(duì)數(shù)值大小比較的主要方法 (1)化同底
14、數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性. (2)化同真數(shù)后利用圖像比較. (3)借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較. 解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式 (1)若loga<1(a>0且a≠1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. (2)若loga(a2+1)<loga2a<0,則a的取值范圍是________. (1) ∪(1,+∞) (2) [(1)當(dāng)0<a<1時(shí),loga<logaa=1,∴0<a<; 當(dāng)a>1時(shí),loga<logaa=1,∴a>1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(1,+∞). (2)由題意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a, 又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1
15、, 同時(shí)2a>1,所以a>.綜上,a∈.] 對(duì)于形如logaf(x)>b的不等式,一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)>logaab,再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)>ab或0<f(x)<ab.而對(duì)于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來(lái)解. 和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù) 解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的步驟 已知函數(shù)f(x)=log4(ax2+2x+3),若f(1)=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間. [解] 因?yàn)閒(1)=1, 所以log4(a+5)=1, 因此a+5=4,a=-1, 所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+
16、2x+3>0,得-1<x<3, 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3, 則g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減. 又y=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3). 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,必須弄清三方面的問(wèn)題:一是定義域,所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,另外,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用. 1.已知a=2,b=l
17、og2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為( ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.c>a>b D.c>b>a C [0<a=2<20=1,b=log2<log21=0,c=log=log23>1,∴c>a>b.] 2.若定義在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C. D.(0,+∞) A [∵-1<x<0,∴0<x+1<1.又∵f(x)>0,∴0<2a<1,∴0<a<.] 3.已知a>0,若函數(shù)f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上是增函數(shù),則a的取值范圍是________. [要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上單調(diào)遞增, 則y=ax2-x在[3,4]上單調(diào)遞增, 且y=ax2-x>0恒成立, 即解得a>.] - 9 -
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