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1、2022年高中數(shù)學(xué) 雙曲線知識(shí)精講 理 人教版第二冊(cè)
【本講教育信息】
一. 教學(xué)內(nèi)容：
雙曲線
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 定義：
到兩點(diǎn)距離之差為定值2a的點(diǎn)的軌跡。
2. 標(biāo)準(zhǔn)方程：或（）
3. 性質(zhì)：
（1）范圍：，
（2）對(duì)稱：x、y軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心
（3）頂點(diǎn)：
（4）漸近線：
（5）離心率：
4. 第二定義：
到的距離與到直線：的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡為雙曲線，（，）。
【典型例題】
[例1] 求滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（1）一條漸近線是：，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程。
解： 雙曲線
代
2、入A
其漸近線雙曲線系
（2）求與雙曲線有共同漸近線且焦距為12的雙曲線。
解： 兩解
[例2] P為平面上一點(diǎn)，過(guò)P作雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線可作n條。
解：
切線
有一交點(diǎn)、交線
①
無(wú)
2（平漸）
②
P在線上
/
2（平漸）
③
P在漸近線上（非O點(diǎn)）
/（本支）
1
④
P在原點(diǎn)
0
2
0
2
[例3] P為雙曲線上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），，求。
解：
相減
∴
[例4] 雙曲線的右頂點(diǎn)為A，P為雙曲線上一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）過(guò)A作漸近線的平行線交OP于E、F。
（1）證
3、
（2）雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使
解：
： ：
：
四點(diǎn)
[例5] 雙曲線C：，A（3，2），B（2，0），P為雙曲線上一點(diǎn)，求的最小值。
解：
l [例6] 雙曲線C：的一支上有不同的三點(diǎn)，，，它們與F（0，5）的距離成等差數(shù)列。
（1）求。
（2）求證線段AC的中垂線過(guò)定點(diǎn)，并求此點(diǎn)。
解：A、B、C到準(zhǔn)線距離成等差數(shù)列
∴
∴
∴過(guò)定點(diǎn)
[例7] 雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于D，過(guò)D引直線和雙曲線交于M、N，又過(guò)一焦點(diǎn)F，引一直線垂直于MN和雙曲線交于P、Q，證
4、：。
解：
設(shè)MN傾斜角為，∴PQ為
分別代入，
即：，
∴
[例8] 過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P的切線與雙曲線的漸近線交于A、B，求證：P點(diǎn)為AB中點(diǎn)。
解：為雙曲線上一點(diǎn)
過(guò)P的切線
消y
即
中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ∴中點(diǎn)為P
【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）
1. 離心率為是雙曲線為等軸雙曲線的（ ）
A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必
2. 下列雙曲線中，既有相同的離心率，又有相同漸近線的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3. 過(guò)
5、P（4，4）且與雙曲線，只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
4. 過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F1且垂直于實(shí)軸的弦PQ，而F2為另一個(gè)焦點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D.
5. 雙曲線的兩條準(zhǔn)線，把連結(jié)兩個(gè)焦點(diǎn)的線段分成，則雙曲線的離心率為（ ）。
A. B. C. 2 D. 3
6. 連接雙曲線和的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1，連接四個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2，則的最大值為（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 求證：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)的距離的等比中項(xiàng)。
8. 過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P作雙曲線的兩漸近線的平行線，試證它們和兩條漸近線所圍成的平行四邊形的面積為定值。【試題答案】
1. C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. C
7.
證：
∴
8.
設(shè)（不妨設(shè)P在右支）
過(guò)P作直線 交于Q
∴
∴×
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