2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教案 新人教A版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教案 新人教A版選修2-1 ◆ 知識與技能目標(biāo) 了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方程，研究曲線的性質(zhì)．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點(diǎn)、漸近線的概念；掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用雙曲線的定義解決實(shí)際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進(jìn)一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義． ◆ 過程與方法目標(biāo) （1）復(fù)習(xí)與引入過程 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用

2、，而且還注意對這種研究方法的進(jìn)一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)軸、虛軸的概念；④應(yīng)用信息技術(shù)的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．2．2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)． （2）新課講授過程 （i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究雙曲線的幾何性質(zhì)． 提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？ 通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位

3、置．要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)． （ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì) ①范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，，進(jìn)一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域； ②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心； ③頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)．因此雙曲線有兩個頂點(diǎn)，由于雙曲線的對稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對稱軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對稱軸叫做虛軸； ④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線； ⑤離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長

4、的比叫做雙曲線的離心率（）． （iii）例題講解與引申、擴(kuò)展 例3 求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是． 擴(kuò)展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率． 解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，無解；②焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率．這個要進(jìn)行分類討論，但只有一種情形有解，事實(shí)上，可直

5、接設(shè)所求的雙曲線的方程為． 例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）． 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說明理由．

6、 解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點(diǎn)，則，即（定值），∴“等距離”線是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略． 例5 如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程． 分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)的軌跡方程． 引申：用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線 若點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程是雙曲線．其中定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn)線；另一焦點(diǎn)，相應(yīng)于的準(zhǔn)線：． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo) 在合作、互動的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動實(shí)現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動情境，結(jié)

7、合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵學(xué)生創(chuàng)新．必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認(rèn)同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實(shí)際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進(jìn)行計算，并按精確度要求進(jìn)行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進(jìn)教學(xué)輔助手段的技能． ◆能力目標(biāo) （1） 分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習(xí)：第66頁1、2、3、4、5 作業(yè)：第3、4、6