2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《直線和圓圓錐曲線》
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1、2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《直線和圓,圓錐曲線》 一.直線與圓 1,兩點(diǎn)間的距離公式:設(shè),則; 2,線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè),點(diǎn)分的比為,則 , 3,直線方程的各種形式 (1),點(diǎn)斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點(diǎn)式: (4),截距式: ;(5),一般式:不同為零); (6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點(diǎn)與之間的距離) 4,兩直線的位置關(guān)系 設(shè)(或).則 (1),且(或且); (2),(或). 5,兩直線的到角公式與夾角公式: (1),到角公式:到的到角為,則,(); (2),夾角公式:與的夾角為,則,()
2、. 6,點(diǎn)到直線的距離:. 7,圓的方程 (1),標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中為圓心坐標(biāo),R為圓半徑; (2),一般方程:,其中,圓心為, 半徑為. (3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R. 二.圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的 和等于常數(shù) 與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的 差的絕對(duì)值等于常數(shù) 與一個(gè)定點(diǎn)和一條定 直線的距離相等 標(biāo)準(zhǔn)方程 (或), (或) (或) 參數(shù)方程 (或) (或) (或) 焦點(diǎn) 或 或 或 正數(shù)a,b,c, p的關(guān)系 () () 離心率
3、 準(zhǔn)線 (或) (或) (或) 漸近線 (或) 焦半徑 (或 ) (, ), (點(diǎn)在左或下支) (或) 統(tǒng)一定義 到定點(diǎn)的距離與到定 直線的距離之比等于定值 的點(diǎn)的集合 ,(注:焦點(diǎn)要與對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線配對(duì)使用) 三.解題思想與方法導(dǎo)引. 1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理 例題講解 1.在平面直角坐標(biāo)系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是( ) 2.平面上整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是( ) A,
4、 B, C, D, 3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B 兩點(diǎn),弦AB的中垂線與軸交于P點(diǎn),則線段PF的長(zhǎng)等于( ) A, B, C, D, 4.若橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離等于它到右焦點(diǎn)距離的2倍,則P點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A, B, C, D, 5.過(guò)橢圓中心的弦AB,是右焦點(diǎn),則的最大面積為( ) A,
5、 B, C, D, 6.已知P為雙曲線上的任意一點(diǎn),為焦點(diǎn),若,則( ) A, B, C, D, 7.給定點(diǎn),已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點(diǎn), 則的取值范圍是 . 8.過(guò)定點(diǎn)作直線交軸于Q點(diǎn),過(guò)Q點(diǎn)作交軸于T點(diǎn), 延長(zhǎng)TQ至P點(diǎn),使,則P點(diǎn)的軌跡方程是 . 9.已知橢圓與直線交于M,N兩點(diǎn),且,(為 原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率時(shí),橢圓長(zhǎng)軸
6、長(zhǎng)的取值范圍是 . 10.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓上一點(diǎn),M到軸的距離為 ,且是和的等比中項(xiàng),則的值等于 . 11.已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上,是 等邊三角形,則的面積等于 . 12.若橢圓()和雙曲線有相同的焦點(diǎn) ,P為兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的值為 . 13.設(shè)橢圓有一個(gè)內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率 適合條件. (1),求證:過(guò)A,B的直線的斜率是定值; (2),求
7、面積的最大值. 14.已知為常數(shù)且),動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設(shè)的重心為G,點(diǎn)M在射線OG上,且滿足. (1),求的最小值; (2),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 15.過(guò)拋物線(為不等于2的素?cái)?shù))的焦點(diǎn)F,作與軸不垂直的直線交拋物線 于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線交MN于P點(diǎn),交軸于Q點(diǎn). (1),求PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程; (2),證明:L上有無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),但L上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù). 課后練習(xí) 1.已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右支上,是等邊三角形,則的面積是 (A) (B) (C)
8、 (D) 2.平面上整點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是 (A) (B) (C) (D) 3.若實(shí)數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y – 12)2=142,則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4.直線橢圓相交于A,B兩點(diǎn),該圓上點(diǎn)P,使得⊿PAB面積等于3,這樣的點(diǎn)P共有 (A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè) 5.設(shè)a,b∈R,ab≠0,那
9、么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是 y y y y x x x x A B C D 6.過(guò)拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60o的直線,若此直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn),則線段PF的長(zhǎng)等于 A. B. C. D. 7.方程表示的曲線是 A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D. 焦點(diǎn)在
10、y軸上的雙曲線 8.在橢圓中,記左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,短軸上方的端點(diǎn)為B。若該橢圓的離心率是,則= 。 9.設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1| : |PF2|=2 : 1,則三角形PF1F2的面積等于______________. 10.在平面直角坐標(biāo)系XOY中,給定兩點(diǎn)M(-1,2)和N(1,4),點(diǎn)P在X軸上移動(dòng),當(dāng)取最大值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________________。 11.若正方形ABCD的一條邊在直線上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 . 12.已知:和:。試問(wèn):當(dāng)且
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