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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課二習(xí)題 理 新人教A版
1.已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos,其中x∈R,ω>0.
(1)當(dāng)ω=1時,求f的值;
(2)當(dāng)f(x)的最小正周期為π時,求f(x)在上取得最大值時x的值.
解 (1)當(dāng)ω=1時,f=sin +cos
=+0=.
(2)f(x)=sin ωx+cos=sin ωx+cos ωx-sin ωx
=sin ωx+cos ωx=sin,
∵=π,且ω>0,得ω=2,∴f(x)=sin,
由x∈,得2x+∈,
∴當(dāng)2x+=,即x=時,f(x)max=1.
2.(xx·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=sin x+
2、cos x.
(1)求函數(shù)y=f(x)在x∈[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知m=(a,b),n=(f(C),1),且m∥n,求B.
解 (1)f(x)=sin x+cos x=sin,
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
令k=0,得-≤x≤,令k=1,得≤x≤,
又∵x∈[0,2π],
∴f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為,.
(2)由題意f(C)=sin C+cos C,
∵m∥n,∴a·1-f(C)·b=0,即a=b(sin C+cos C),由正弦定理=,
3、
得sin A=sin B(sin C+cos C)=sin Bsin C+sin Bcos C.
在△ABC中,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
∴sin Bsin C=cos Bsin C.
又sin C≠0,∴sin B=cos B,
∴tan B=1,又∵0<B<π,∴B=.
3.(xx·濟(jì)南名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin ωx+2cos2+1-(ω>0)的周期為π.
(1)求f(x)的解析式并求其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將f(x)的圖象先向下平移1個單位長度,再向左平移φ(φ>0)個單位長度得到函數(shù)h(x)的圖象,若h(x)為
4、奇函數(shù),求φ的最小值.
解 (1)f(x)=sin ωx+2cos2+1-=
sin ωx+2×+1-
=sin ωx+cos ωx+1=2sin(ωx+)+1.
又函數(shù)f(x)的周期為π,因此 =π,∴ω=2.
故f(x)=2sin+1.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2)由題意可知h(x)=2sin,
又h(x)為奇函數(shù),則2φ+=kπ,∴φ=-(k∈Z).∵φ>0,∴當(dāng)k=1時,φ取最小值.
4.(xx·北京卷)如圖,在△ABC中,∠B=,AB=8,
點D在BC邊上,且CD=2
5、,
cos∠ADC=.
(1)求sin ∠BAD;
(2)求BD,AC的長.
解 (1)在△ADC中,因為cos∠ADC=,
所以sin ∠ADC=.
所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin ∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin ∠B
=×-×=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得
BD===3.
在△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B
=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.
5.已知△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=
(2sin B,-),n=(cos 2B,2cos2-
6、1),且m∥n.
(1)求銳角B的大??;
(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.
解 (1)∵m∥n,
∴2sin B=-cos 2B,
∴sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.
又∵B為銳角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=.
(2)∵B=,b=2,
由余弦定理cos B=,
得a2+c2-ac-4=0.
又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立.
故S△ABC=acsin B=ac≤,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立,
即S△ABC的最大值為.
6.(xx·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=a·b,其中a=(2cos
7、 x,-sin 2x),b=(cos x,1),x∈R.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sin B)與n=(2,sin C)共線,求邊長b和c的值.
解 (1)f(x)=2 cos2x-sin 2x
=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos,
令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
(k∈Z).
(2)∵f(A)=1+2cos=-1,
∴cos=-1,又<2A+<,
∴2A+=π,即A=.
∵a=,
∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7.①
∵向量m=(3,sin B)與n=(2,sin C)共線,
∴2sin B=3sin C,由正弦定理得2b=3c,②
由①②得b=3,c=2.