2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.8三角函數(shù)的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題 【例1】如圖,ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮,其中AST是一半徑為90 m的扇形小山,其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場,使矩形的一個頂點P在上,相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上,求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值. 【解析】如圖,連接AP,過P作PM⊥AB于M. 設(shè)∠PAM=α,0≤α≤, 則PM=90sin α,AM=90cos α, 所以PQ=100-90cos α,PR=100-90sin

2、α, 于是S四邊形PQCR=PQ·PR ?。?100-90cos α)(100-90sin α) ?。? 100sin αcos α-9 000(sin α+cos α)+10 000. 設(shè)t=sin α+cos α,則1≤t≤,sin αcos α=. S四邊形PQCR=8 100·-9 000t+10 000 =4 050(t-)2+950 (1≤t≤). 當(dāng)t=時,(S四邊形PQCR)max=14 050-9 000 m2; 當(dāng)t=時,(S四邊形PQCR)min=950 m2. 【點撥】同時含有sin θcos θ,sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時,可設(shè)sin θ±

3、cos θ=t,把sin θcos θ用t表示,從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍. 【變式訓(xùn)練1】若0<x<,則4x與sin 3x的大小關(guān)系是(  ) A.4x>sin 3x B.4x<sin 3x C.4x≥sin 3x D.與x的值有關(guān) 【解析】令f(x)=4x-sin 3x,則f′(x)=4-3cos 3x.因為f′(x)=4-3cos 3x>0,所以f(x)為增函數(shù).又0<x<,所以f(x)>f(0)=0,即得4x-sin 3x>0.所以4x>sin 3x.故選A. 題型二 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)模型的應(yīng)用 【例

4、2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24,單位:小時)的函數(shù),記作y=f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù). 經(jīng)長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos ωt+b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acos ωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式; (2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8:00至晚上20:00之間,有多少時間可供沖浪者進行運動? 【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知,周期T=12,所以ω===. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5,由t=3,y=1.0,得b=1.0,

5、所以A=0.5,b=1,所以振幅為.所以y=cos t+1. (2)由題知,當(dāng)y>1時才可對沖浪者開放, 所以cos t+1>1,所以cos t>0, 所以2kπ-<t<2kπ+,即12k-3<t<12k+3.① 因為0≤t≤24,故可令①中k分別為0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24. 故在規(guī)定時間上午8:00至晚上20:00之間,有6個小時時間可供沖浪者運動,即上午9:00至下午15:00. 【點撥】用y=Asin(ωx+φ)模型解實際問題,關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準確求出函數(shù)解析式. 【變式訓(xùn)練2】如圖,一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈,記

6、水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負數(shù)),則d(m)與時間t(s)之間滿足關(guān)系式:d=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,-<φ<),且當(dāng)點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間,有以下四個結(jié)論:①A=10;②ω=;③φ=;④k=5.其中正確結(jié)論的序號是     . 【解析】①②④. 題型三 正、余弦定理的應(yīng)用 【例3】為了測量兩山頂M、N間的距離,飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量,A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示),飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離,請設(shè)計一個方案,包括:(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標示);(2)用文字和公式寫出計算M、N

7、間距離的步驟. 【解析】(1)如圖所示:①測AB間的距離a;②測俯角∠MAB=φ,∠NAB=θ,∠MBA=β,∠NBA=γ.(2)在△ABM中 ,∠AMB=π-φ-β,由正弦定理得 BM==, 同理在△BAN中,BN==, 所以在△BMN中,由余弦定理得 MN= =. 【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛,看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上,另一燈塔在南偏西75°方向上,則該船的速度是   海里/小時. 【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖,易知AB=10,∠OCB=60°

8、,∠OCA=75°.我們只需計算出OC的長,即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中,顯然有=tan∠OCB=tan 60°且=tan∠OCA=tan 75°, 因此易得AB=OA-OB=OC(tan 75°-tan 60°),即有 OC== = ===5. 由此可得船的速度為5海里÷0.5小時=10海里/小時. 總結(jié)提高 1.解三角形的應(yīng)用題時應(yīng)注意: (1)生活中的常用名詞,如仰角,俯角,方位角,坡比等; (2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解; (3)方程思想在解題中的運用. 2.解三角函數(shù)的綜合題時應(yīng)注意: (1)與已知基本函數(shù)對應(yīng)求解,即將ωx+φ視為一個整體X; (2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù),如y=Asin(ωx+φ)+B或y=asin2x+bsin x+c; (3)換元方法在解題中的運用.

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