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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第三講 不等式選講 理
1.絕對(duì)值三角不等式.
(1)定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+B|≤|a|+|b|,
當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí),等號(hào)成立.
(2)定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,
當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí),等號(hào)成立.
2.絕對(duì)值不等式的解法.
(1)不等式|x|a的解集:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<-a}
{x|x≠0}
R
①|(zhì)ax+b|≤c?-c≤ax+b
2、≤c;
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
方法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;
方法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;
方法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
3.柯西不等式的二維形式.
(1)柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實(shí)數(shù),則(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2(當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí),等號(hào)成立).
(2)柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的
3、兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|.
(3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥.
4.柯西不等式的一般形式.
柯西不等式的一般形式:設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn為實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)·(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.
5.基本不等式的一般形式.
≥(a1,a2,…,an∈R+).
1.函數(shù)y=|x-4|+|x-6|的最小值為(A)
A.2 B. C.4 D.6
解析:y=|x-1|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.
2.不等式3≤|5-2x|
4、<9的解集為(D)
A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7)
解析:??得(-2,1]∪[4,7).
3.(xx·皖南八校聯(lián)考)不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(A)
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[-2,5] D.(-∞,-2)∪[4,+∞)
解析:由絕對(duì)值的幾何意義易知|x+3|+|x-1|的最小值為4,所以不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤
5、a≤4.
4.(xx·延邊州質(zhì)檢)函數(shù)y=(x≥0)的最小值為(B)
A.6 B.7
C. D.9
解析:原式變形為y==x+2++1,因?yàn)閤≥0,所以x+2>0,所以x+2+≥6.所以y≥7,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).所以ymin=7(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)).
一、選擇題
1.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(D)
A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
解析:當(dāng)x≤-3時(shí),|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x≥10,
6、即x≤-4,∴x≤-4.當(dāng)-30,所以x+2+≥6.所以y≥7,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).所以ymin=7(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)).
3.若x,y∈R且滿足x+
7、3y=2,則3x+27y+1的最小值是(D)
A.3 B.1+2
C.6 D.7
解析:3x+33y+1≥2+1=2+1=7.當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y時(shí),即x=3y=1時(shí)取等號(hào).
4.設(shè)x>0,y>0,A=,B=+,則A,B的大小關(guān)系是(B)
A.A=B B.AB
解析:B=+>+==A,即A
8、當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào).∵a+2b+3c=13,∴a=9,b=,c=時(shí),++取最大值.
二、填空題
6.不等式1<|x+1|<3的解集為(-4,-2)∪(0,2).
7.不等式|x-8|-|x-4|>2的解集為{x|x<5}.
解析:令f(x)=|x-8|-|x-4|=42;當(dāng)42,得x<5,∴48時(shí),f(x)=-4>2不成立.故原不等式的解集為{x|x<5}.
8.已知關(guān)于x的不等式|x-1|+|x|≤k無解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k<1.
解析:∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴當(dāng)k<
9、1時(shí),不等式|x-1|+|x|≤k無解,故k<1.
三、解答題
9.(xx·柳州一模)已知關(guān)于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).
(1)當(dāng)a=4時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析:(1)當(dāng)a=4時(shí),不等式即|2x+1|-|x-1|≤2.
當(dāng)x<-時(shí),不等式為-x-2≤2,解得-4≤x<-.
當(dāng)-≤x≤1時(shí),不等式為3x≤2,解得-≤x≤.
當(dāng)x>1時(shí),不等式為x+2≤2,此時(shí)x不存在.
綜上,不等式的解集為.
(2)設(shè)f(x)=|2x+1|-|x-1|=
故f(x)∈,即f(x)的最小值為-.所以當(dāng)f(x)≤l
10、og2a有解,則有l(wèi)og2a≥-,解得a≥,即a的取值范圍是.
10.(xx·遼寧卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.記f(x)≤1的解集為M,g(x)≤4的解集為N.
(1)求M;
(2)當(dāng)x∈M∩N時(shí),求證:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
解析:(1)由f(x)=2|x-1|+x-1≤1可得或
解得1≤x≤,解得0≤x<1.
綜上,原不等式的解集為.
(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4,得-≤x≤,
∴N=.∴M∩N=.
∵當(dāng)x∈M∩N時(shí),f(x)=1-x,
∴x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=-≤,
故要證的不等式成立.
11.已知不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2對(duì)滿足x+y+z=1的一切實(shí)數(shù)x,y,z都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析:由柯西不等式,得[x2+(y)2+(z)2]≥(x+y+z)2.
∴x2+2y2+3z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào),
即x=,y=,z=取等號(hào).
則|a-2|≤.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.