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1、2022年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無理方程的解法
初中大家已經學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法．本講將要學習可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超過三個分式構成的分式方程的解法，會用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會驗根；(2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用”平方”或”換元法”求根，并會驗根．
一、可化為一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程為一元二次方程
【例1】解方程 ．
分析：去分母，轉化為整式方程．
解：原方程可化為：
方程兩邊各項都乘以：
即，
2、 整理得：
解得：或．
檢驗：把代入，不等于0，所以是原方程的解；
把代入，等于0，所以是增根．
所以，原方程的解是．
說明：
(1) 去分母解分式方程的步驟：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母； ③去括號，把所有項都移到左邊，合并同類項； ④解一元二次方程； ⑤驗根．
(2) 驗根的基本方法是代入原方程進行檢驗，但代入原方程計算量較大．而分式方程可能產生的增根，就是使分式方程的分母為0的根．因此我們只要檢驗一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0．若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解．
2．用
3、換元法化分式方程為一元二次方程
【例2】解方程
分析：本題若直接去分母，會得到一個四次方程，解方程很困難．但注意到方程的結構特點，設，即得到一個關于的一元二次方程．最后在已知的值的情況下，用去分母的方法解方程．
解：設，則原方程可化為： 解得或．
(1)當時，，去分母，得；
(2)當時，．
檢驗：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．
所以，，都是原方程的解．
說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出的值，而沒有求到原方程的解，即的值．
【例3】解方程 ．
分析：注意觀察方程特點，可以看到分式與互為倒數(shù)．因此，可以設，即可將原方程化為一個較為簡單的分式方
4、程．
解：設，則
原方程可化為：．
(1)當時，；
(2)當時，．
檢驗：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．
所以，原方程的解是，，．
說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想．
二、可化為一元二次方程的無理方程
根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程．
1．平方法解無理方程
【例4】解方程
分析：移項、平方，轉化為有理方程求解．
解：移項得：
兩邊平方得：
移項，合并同類項得：
解得：或
檢驗：把代入原方程，左邊右邊，所以是增根．
把代入原方程，左邊 = 右邊，所以是
5、原方程的根．
所以，原方程的解是．
說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟：
①移項，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；②兩邊同時平方，得到一個整式方程；③解整式方程；④驗根．
【例5】解方程
分析：直接平方將很困難．可以把一個根式移右邊再平方，這樣就可以轉化為上例的模式，再用例4的方法解方程．
解：原方程可化為：
兩邊平方得：
整理得：
兩邊平方得：
整理得：，解得：或．
檢驗：把代入原方程，左邊=右邊，所以是原方程的根．
把代入原方程，左邊右邊，所以是增根．
所以，原方程的解是．
說明：含
6、未知數(shù)的二次根式恰有兩個的無理方程的一般步驟：
①移項，使方程的左邊只保留一個含未知數(shù)的二次根式；②兩邊平方，得到含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程；③一下步驟同例4的說明．
2．換元法解無理方程
【例6】解方程
分析：本題若直接平方，會得到一個一元四次方程，難度較大．注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關系，可以發(fā)現(xiàn)：．因此，可以設，這樣就可將原方程先轉化為關于的一元二次方程處理．
解：設，則
原方程可化為：，
即，解得：或．
(1)當時，；
(2)當時，因為，所以方程無解．
檢驗：把分別代入原方程，都適合．
所以，原方程的解是．
說
7、明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉化為有理方程，體現(xiàn)了化歸思想．
練 習
A 組
1．解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
2．用換元法解方程：
3．解下列方程：
(1) (2) (3)
4．解下列方程：
(1) (2)
5．用換元法解下列方程：
(1) (2)
B 組
1．解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
2．用換元法解下列方程：
(1) (2)
(3)
3．若是方程的解，試求的值．
4．解下列方程：
(1) (2)
5．解下列方程：
(1) (2)
(3)
第七講 分式方程和無理方程的解法答案
A 組
1．
2．
3．
4．(1)．(2) ．
5．
B 組
1．
2．
3．
4．
5．
2022年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第七講 分式方程和無理方程的解法
