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1、2022年高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第7節(jié) 曲線與方程課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
曲線與方程
1
直接法求軌跡(方程)
4、9、12、13
定義法求軌跡(方程)
2、5、6、11、15、16、17
相關點法求軌跡(方程)
7、10、14
參數(shù)法求軌跡(方程)
3、8
基礎過關
一、選擇題
1.方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是( C )
解析:原方程可化為或x+y+1=0.
顯然方程表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0的右上方部分,故選C.
2.
2、 △ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是( C )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1(x>3) (D)-=1(x>4)
解析:如圖,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根據雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,
方程為-=1 (x>3).
3.平面直角坐標系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=
λ1+λ2(O為坐標原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是( A )
(A
3、)直線 (B)橢圓 (C)圓 (D)雙曲線
解析:設C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3),
∵=λ1+λ2,
∴又λ1+λ2=1,
∴x+2y-5=0,表示一條直線.
4.動點P為橢圓+=1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(±a,0)的一點,F1、F2為橢圓的兩個焦點,動圓C與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切,則圓心C的軌跡為( D )
(A)橢圓 (B)雙曲線
(C)拋物線 (D)直線
解析:如圖所示,設三個切點分別為M、N、Q.
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|
4、F2N|=2a,
∴|F2N|=a-c,
∴N點是橢圓的右頂點,
∴CN⊥x軸,
∴圓心C的軌跡為直線.
5.已知點M(-3,0),N(3,0),B(1,0),動圓C與直線MN切于點B,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P,則P點的軌跡方程為( A )
(A)x2-=1 (x>1) (B)x2-=1 (x<-1)
(C)x2+=1 (x>0) (D)x2-=1 (x>1)
解析:設另兩個切點為E、F,
如圖所示,則|PE|=|PF|,
|ME|=|MB|,
|NF|=|NB|.
從而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,
5、
所以P的軌跡是以M、N為焦點,實軸長為2的雙曲線的右支.a=1,c=3,
∴b2=8.
故方程為x2-=1 (x>1).故選A.
6.點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點,過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是( A )
(A)圓 (B)橢圓
(C)雙曲線 (D)拋物線
解析:如圖,延長F2M交F1P延長線于N.
∵|PF2|=|PN|,
∴|F1N|=2a.
連接OM,則在△NF1F2中,OM為中位線,
則|OM|=|F1N|=a.
∴點M的軌跡是圓.
7.(xx瑞安十校模擬)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的
6、中點的軌跡方程是( A )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
解析:設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),
則
解得
又(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.
8.(xx東營模擬)已知正方形的四個頂點分別為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),點D,E分別在線段OC,AB上運動,且OD=BE,設AD與OE交于點G,則點G的軌跡方程是( A )
(A)y=x(1-x)(0≤x≤1)
(B)x
7、=y(1-y)(0≤y≤1)
(C)y=x2(0≤x≤1)
(D)y=1-x2(0≤x≤1)
解析:設D(0,λ),E(1,1-λ)(0≤λ≤1),
所以線段AD方程為x+=1(0≤x≤1),線段OE方程為y=(1-λ)x(0≤x≤1) ,
聯(lián)立方程組(λ為參數(shù)),消去參數(shù)λ得點G的軌跡方程為y=x(1-x)(0≤x≤1).
二、填空題
9.已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是 .?
解析:設P(x,y),
∵△MPN為直角三角形,
∴|MP|2+|NP|2=|MN|2,
∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y
8、2=16,
整理得,x2+y2=4.
∵M,N,P不共線,
∴x≠±2,
∴軌跡方程為x2+y2=4 (x≠±2).
答案:x2+y2=4 (x≠±2)
10.P是橢圓+=1(a>b>0)上的任意一點,F1、F2是它的兩個焦點,O為坐標原點,=+,則動點Q的軌跡方程是 .?
解析:=+,
如圖,+==2=-2,
設Q(x,y),
則=-=-(x,y)=(-,-),
即P點坐標為(-,-),
又P在橢圓上,
則有+=1,
即+=1.
答案:+=1
11.設x,y∈R,i、j為直角坐標平面內x,y軸正方向上的單位向量,向量a=xi+(y+2)j,b=xi+
9、(y-2)j,且|a|+|b|=8,則點M(x,y)的軌跡方程為 .?
解析:由已知得a=(x,y+2),b=(x,y-2),而|a|+|b|=8,故有+=8①,由①式知動點M(x,y)到兩定點F1(0,-2),F2(0,2)的距離之和為一常數(shù),滿足橢圓的定義,故M點軌跡為以F1、F2為焦點的橢圓,橢圓的長半軸長a=4,所以短半軸長b=2,故其軌跡方程為+=1.
答案:+=1
三、解答題
12.(xx長春高三調研)已知平面上的動點P(x,y)及兩個定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2且k1k2=-.
(1)求動點P的軌跡C方程;
(2
10、)設直線l:y=kx+m與曲線 C交于不同兩點M,N,當OM⊥ON時,求O點到直線l的距離(O為坐標原點).
解:(1)設P(x,y),
由已知得·=-,
整理得x2+4y2=4,
即+y2=1(x≠±2).
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2)
消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,
得4k2+1-m2>0.
x1+x2=-,
x1·x2=,
∵OM⊥ON,
∴x1·x2+y1·y2=0,
即x1·x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1·x2+km(x1+x2)+m2=
11、0,
∴(1+k2)·+km·(-)+m2=0,
∴m2=(k2+1)滿足4k2+1-m2>0,
∴O點到l的距離為d=,
即d2==,
∴d=.
13.(xx高考陜西卷)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.
(1)解:如圖所示,設動圓圓心O1(x,y),
由題意,|O1A|=|O1M|,
當O1不在y軸上時,
過O1作O1H⊥MN交MN于H,
則H是MN的中點,
∴|O1M|=,
12、
又|O1A|=,
∴=,
化簡得y2=8x(x≠0).
又當O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標(0,0)也滿足方程y2=8x,
∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.
(2)證明:由題意,設直線l的方程為y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
將y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
由根與系數(shù)的關系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因為x軸是∠PBQ的角平分線,
所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b
13、)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①②代入③,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時Δ>0,
∴直線l的方程為y=k(x-1),
∴直線l過定點(1,0).
能力提升
14.在平行四邊形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD內一點,且滿足:x+y+=0(x,y∈R).則當點P在以A為圓心,||為半徑的圓上時,實數(shù)x,y應滿足關系式為( D )
(A)4x2+y2+2xy=1 (B)4x2+y2-2xy=1
(C)x2+4y2-2xy=1 (D)x2+4y2+2xy=1
解析:
14、如圖所示,以A為原點建立平面直角坐標系,設AD=2.
據題意,AB=1,∠ABD=90°,
BD=.
∴B、D的坐標分別為(1,0)、(1,),
∴=(1,0),=(1,).
設點P的坐標為(m,n),
即=(m,n),
則由x+y+=0,
得:=x+y,
∴
據題意,m2+n2=1,
∴x2+4y2+2xy=1.
15.有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B,若△ABP為正三角形,則點P的軌跡方程為 .?
解析:設P(x,y),動圓P的半徑為R,
由于△ABP為正三角形,
∴P到y(tǒng)軸的距離d=R,
即|x|=R.
而R=|P
15、F|=,
∴|x|=·.
整理得(x+3a)2-3y2=12a2,
即-=1.
答案:-=1
16.(xx高考廣東卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.
解:(1)依題意得,c=,e==,
因此a=3,b2=a2-c2=4,
故橢圓C的標準方程是+=1.
(2)若兩切線的斜率均存在,設過點P(x0,y0)的切線方程是y=k(x-x0)+y0,
則由
得+=1,
即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[
16、(y0-kx0)2-4]=0,
因為直線與橢圓C相切,
所以Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.
又所引的兩條切線相互垂直,設兩切線的斜率分別為k1,k2,
于是有k1k2=-1,
即=-1,
即+=13(x0≠±3).
若兩切線中有一條斜率不存在,則易得或或或經檢驗知均滿足+=13.
因此,動點P(x0,y0)的軌跡方程是x2+y2=13.
探究創(chuàng)新
17.(xx河南鄭州一模)如圖,△PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若
tan∠ADP+2tan∠BCP=10,則點P在平面α內的軌跡是( B )
(A)圓的一部分 (B)橢圓的一部分
(C)雙曲線的一部分 (D)拋物線的一部分
解析:由題意可知+2=10,
則PA+PB=40>AB=6,
又因P、A、B三點不共線,
故點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓的一部分.