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1、2022年高考數學二輪復習 第一部分 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數與導數專題跟蹤訓練6 文
1．(xx·安徽卷)已知函數f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)內的極值．
[解] (1)由題意知x≠－r，所求的定義域為(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝＝，
f ′(x)＝
＝，
所以當x<－r或x>r時， f ′(x)<0，當－r0，
因此， f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－r)，(r，＋∞); f(x)的單調遞增區(qū)間為(－r，r)．
(
2、2)由(1)的解答可知f ′(r)＝0，f(x)在(0，r)上單調遞增，在(r，＋∞)上單調遞減．
因此，x＝r是f(x)的極大值點，
所以f(x)在(0，＋∞)內的極大值為f(r)＝＝＝＝100.
2．(xx·濟南模擬)設函數f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.
[解] (1)f ′(x)＝1＋2ax＋.
由已知條件得
即解得
(2)證明：因為f(x)的定義域為(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.
設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－
3、x－x2＋3ln x，
則g′(x)＝－1－2x＋＝－.
當00，
當x>1時，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)內單調遞增，
在(1，＋∞)內單調遞減．
而g(1)＝0，故當x>0時，g(x)≤0，
即f(x)≤2x－2.
3．(xx·東北三校聯(lián)考)設函數f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸垂直，求函數f(x)的極值；
(2)當a≤4時，若不等式f(x)≥1在區(qū)間[1,4]上有解，求實數a的取值范圍．
[解] 函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．
(1)f′(x)＝1＋－＝，
4、
所以f′(1)＝5－a，故曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率等于5－a.
由題意可得5－a＝0，解得a＝5.
此時，f′(x)＝＝.
由f′(x)＝0解得x＝1或4.
f(x)、f′(x)隨x的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調遞增
極大值
單調遞減
極小值
單調遞增
極小值為f(4)＝4－－5ln 4＝3－10ln 2.
(2)由不等式f(x)≥1在區(qū)間[1,4]上有解可知，f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值不小于1.
由(1)知f′(x)＝，
5、對于方程x2－ax＋4＝0，Δ＝(－a)2－4×1×4＝a2－16，
①當a∈[－4,4]時，Δ≤0，故f′(x)≥0恒成立，f(x)在[1,4]上單調遞增，故f(x)在[1,4]上的最大值為f(4)＝4－－aln 4＝3－2aln 2，
故由f(4)≥1，得3－2aln 2≥1，解得a≤.
又a∈[－4,4]，所以a∈.
②當a<－4時，Δ>0，f′(x)＝0的兩根為
x1＝，x2＝.
此時x1<0，x2<0，故f(x)在[1,4]上單調遞增，
故①知，a≤，又a<－4，
故a<－4.
綜上所述，a的取值范圍為.
4．(xx·新課標全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝e2x－aln
6、 x.
(1)討論f(x)的導函數f ′(x)零點的個數；
(2)證明：當a>0時， f(x)≥2a＋aln .
[解] (1)f(x)的定義域為(0，＋∞), f ′(x)＝2e2x－(x>0)．
當a≤0時， f ′(x)>0, f ′(x)沒有零點；
當a>0時，因為y＝e2x單調遞增，y＝－單調遞增，所以f ′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f ′(a)>0，當b滿足00時， f ′(x)存在唯一零點．
(2)證明：由(1)，可設f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時， f ′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時， f ′(x)>0.
故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，所以當x＝x0時， f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．
由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .
故當a>0時， f(x)≥2a＋aln .
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