2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念及簡單表示法習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念及簡單表示法習(xí)題 理 新人教A版 一、選擇題 1.數(shù)列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于(　　) A. B.cos C.cos π D.cos π 解析　令n＝1，2，3，…，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確. 答案　D 2.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　) A. B. C.4 D.0 解析　∵an＝－3＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0. 答案　D 3.(xx·黃岡模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－

2、2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A.an＝2n－3 B.an＝2n＋3 C.an＝ D.an＝ 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不適合上式，故選C. 答案　C 4.數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 解析　依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4. 答案　D 5.(xx·石家莊二模)在

3、數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的個(gè)位數(shù)，則a2 015＝(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析　由題意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2. 答案　D 二、填空題 6.在數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________. 解析　由題意知a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2， ∴an＝(n≥2)，∴a3

4、＋a5＝＋＝. 答案　 7.(xx·濰坊一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式an＝________. 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－. ∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1＝1，公比q＝－的等比數(shù)列，故an＝. 答案　 8.(xx·太原二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，則an＝________. 解析　由已知得－＝n， ∴－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1， ∴－＝，∴＝，∴an＝. 答案　 三、解答題 9.根據(jù)下列條件，確定數(shù)

5、列{an}的通項(xiàng)公式. (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3)a1＝2，an＋1＝an＋ln. 解　(1)∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3，＝2，a1＝1. 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3)∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－

6、an＝ln＝ln. ∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln， …… a2－a1＝ln， ∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. 10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍. 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首

7、項(xiàng)為a－3，公比為2的等比數(shù)列， 因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12·＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞). (建議用時(shí)：20分鐘) 11.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n

8、≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.a2 014＝－1，S2 014＝2 B.a2 014＝－3，S2 014＝5 C.a2 014＝－3，S2 014＝2 D.a2 014＝－1，S2 014＝5 解析　由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，則an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝ －2，所以當(dāng)k∈N時(shí)，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，

9、所以a2 014＝a4＝－1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5. 答案　D 12.(xx·貴陽監(jiān)測)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則該數(shù)列的前2 015項(xiàng)的乘積a1·a2·a3·…·a2 015＝________. 解析　由題意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2 015＝4×503＋3，a1a2a3a4＝1， ∴前2 015項(xiàng)的乘積為1503·a1a2a3＝3. 答案　3 13.已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

10、________. 解析　因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理， 得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*) 因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案　(－3，＋∞) 14.在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝(n∈N*). (1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng). (1)證明　因?yàn)閍nan＋1＝，an＋1an＋2＝，所以＝. 又a1＝1，a2＝，所以數(shù)列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列； 數(shù)列a2，a4，…，a2n，…，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. (2)解　由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3，所以bn＝3n(n＋1)，bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)， 所以bn＋1－bn＝3(n＋1)＝3(n＋1)(2－n)， 所以b1＜b2＝b3＞b4＞…＞bn＞…，所以(bn)max＝b2＝b3＝.