2022年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃試題

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1、2022年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃試題 1．(xx·大綱全國)不等式組的解集為(　　) A．{x|－21} 2．(xx·廣東)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為(　　) A．4 B. C．6 D. 3．(xx·浙江)有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a

2、，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是(　　) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 4．(xx·重慶)設a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________． 　 1.利用不等式性質比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點； 2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍； 3.利用不等式解決實際問題. 熱點一　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠

3、0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． 2．簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調性求解． 例1　(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2} (2)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞

4、)單調遞增，則f(2－x)>0的解集為(　　) A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________. (2

5、)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________________． 熱點二　基本不等式的應用 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)． 例2　(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則＋的最小值是(　　) A. B. C．8 D．24 (2)已

6、知關于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D. 思維升華　在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤． 跟蹤演練2　(1)(xx·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當a的值為________時，log2a·log2(2b)取得最大值． (2)若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則＋的最小值是___

7、_____． 熱點三　簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． 例3　(1)(xx·北京)若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 (2)(xx·安徽)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為(　　) A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1 思維升華　(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值

8、范圍．(2)一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得． 跟蹤演練3　已知x，y滿足且目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，則實數(shù)a的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．7 1．若點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上，則ab的最大值為(　　) A．1 B. C. D. 2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且實數(shù)x，y滿足不等式組則z＝·的最小值為(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．－6 3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤4的解集為____________． 4．已知不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒

9、成立，則a的取值范圍是________． 提醒：完成作業(yè)　專題一　第2講 二輪專題強化練 專題一 第2講　不等式與線性規(guī)劃 A組　專題通關 1．下列選項中正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若ab>0，a>b，則< C．若a>b，cb，c>d，則a－c>b－d 2．不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 3．(xx·山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax

10、＋y的最大值為4，則a等于(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 4．(xx·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 5．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導函數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域為[0，＋∞)，則的最小值為(　　) A．3 B. C．2 D. 6．已知函數(shù)f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集為________________． 7．(xx·綿陽市一診)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該產品生產總成本C與產量q(q∈N*)的函數(shù)關系式為C＝

11、100－4q，銷售單價p與產量q的函數(shù)關系式為p＝25－q.要使每件產品的平均利潤最大，則產量q＝________. 8．(xx·資陽市測試)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 9．設00}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示) 10．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50≤x≤100)(單位：千米/小時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2＋)升，司機的工資是每小時14元． (1)求這次行車總

12、費用y關于x的表達式； (2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值． B組　能力提高 11．(xx·陜西)設f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(　　) A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q 12．(xx·課標全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 13．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________________________________

13、__． 14．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)．

14、學生用書答案精析 第2講　不等式與線性規(guī)劃 高考真題體驗 1．C　[由得 所以0

15、 解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當且僅當a＝，b＝時，等號成立，則＋≤3，即＋最大值為3. 熱點分類突破 例1　(1)D　(2)C 解析　(1)由已知條件0<10x<， 解得x0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>

16、4. 故選C. 跟蹤演練1　(1)　(2)(，e2) 解析　(1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因為a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝. (2)∵|f(1＋ln x)|<1， ∴－1

17、0，y>0， ∴＋＝(＋)·(2x＋3y) ＝(6＋6＋＋)≥(12＋2×6)＝8. 當且僅當3y＝2x時取等號． (2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2·＋2a＝4＋2a， 由題意可知4＋2a≥7，得a≥， 即實數(shù)a的最小值為，故選B. 跟蹤演練2　(1)4　(2)4 解析　(1)log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，當且僅當log2a＝1＋log2b，即a＝2b時，等號成立，此時a＝4，b＝2. (2)易知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半徑為2，圓心為(－1,2)，因為直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2

18、＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，所以直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)過圓心，把圓心坐標代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，當且僅當＝，a＋b＝1， 即a＝b＝時等號成立． 例3　(1)D　(2)D 解析　(1)可行域如圖所示．目標函數(shù)化為y＝－x＋z， 當直線y＝－x＋z過點A(0,1)時，z取得最大值2. (2)如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距， 故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2； 當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1. 跟蹤演練3　C　[依題意，不等式組

19、所表示的可行域如圖所示(陰影部分)，觀察圖象可知，當目標函數(shù)z＝2x＋y過點B(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a；因為目標函數(shù)z＝2x＋y的最小值為9，所以3a＝9，解得a＝3，故選C.] 高考押題精練 1．D　[因為點A(a，b)在第一象限，且在直線x＋2y＝1上， 所以a>0，b>0，且a＋2b＝1， 所以ab＝·a·2b≤·()2＝， 當且僅當a＝2b＝，即a＝，b＝時，“＝”成立． 故選D.] 2．C　[畫出不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ECD的內部(包括邊界)，其中 E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目標函數(shù)z＝·＝x－y. 令直線l：y＝

20、x－z，要使直線l過可行域上的點且在y軸上的截距－z取得最大值，只需直線l過點E(2,6)． 此時z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故選C.] 3．{x|－14≤x<2或x≥} 解析　由題意得或 解得x≥或－14≤x<2， 故不等式f(x)≤4的解集為{x|－14≤x<2或x≥}． 4．[－1,2] 解析　設y＝，y′＝－， 故y＝在x∈[2,6]上單調遞減， 即ymin＝＝， 故不等式≥|a2－a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2－a|≤恒成立，化簡得 解得－1≤a≤2， 故a的取值范圍是[－1,2]． 二輪專題強化練答案精析 第2講　不等式與線性

21、規(guī)劃 1．B　[若a>b，取c＝0，則ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，則選項C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，則選項D不成立，排除D.選B.] 2．C　[根據(jù)題意，由于不等式x2＋x<＋對任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<(＋)min， ∵＋≥2＝2， ∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集為(－2,1)．] 3．B　[不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示． 易知A(2,0)， 由 得B(1,1)． 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. ∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在 O(0,0)處取得最大

22、值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.] 4．D　[由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4， 當且僅當＝時取等號．故選D.] 5．C　[f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0，函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)，所以a>0，且b2－4ac＝0，即4ac＝b2，所以c>0.又f(1)＝a＋b＋c，所以＝＝1＋≥1＋＝1＋＝

23、1＋1＝2(當且僅當b＝2a＝2c時取等號)，所以的最小值為2，故選C.] 6．(－∞，0]∪[3，＋∞) 解析　當x>0時，由log3x≥1可得x≥3， 當x≤0時，由()x≥1可得x≤0， ∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)． 7．40 解析　每件產品的利潤y＝25－q－＝29－(＋)≤29－ 2＝24， 當且僅當＝且q>0，即q＝40時取等號． 8．(－4,2) 解析　∵x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋ ≥4＋2＝8，∴(x＋2y)min＝8， 令m2＋2m<8，得－4

24、稱軸方程為x＝(1＋a)， Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)． ①當00，g(0)＝6a>0， 方程g(x)＝0的兩個根分別為 00恒成立， 所以D＝A∩B＝(0，＋∞)． 綜上所述，當0

25、y＝＋x≥26，當且僅當＝x， 即x＝18時，上述不等式中等號成立． 故當x＝18時，這次行車的總費用最低，最低費用為26元． 11．C　[∵0＜a＜b，∴＞， 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 故f＞f()，即q＞p. 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p. 故p＝r＜q.選C.] 12．3 解析　畫出可行域如圖陰影所示， ∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率， ∴點(x，y)在點A處時最大． 由　得 ∴A(1,3)．∴的最大值為3. 13．(－∞，] 解析　要使(x＋

26、y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)， 即a≤(x＋y)＋恒成立． 由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤()2， 即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， 解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)． 設t＝x＋y，則t≥6，(x＋y)＋＝t＋. 設f(t)＝t＋，則在t≥6時，f(t)單調遞增，所以f(t)＝t＋的最小值為6＋＝，所以a≤，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，]． 14．解　(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，顯然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是減函數(shù)，由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200；當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立，所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約3 333輛/小時．